Exercício 2 - Existência de raízes de
0,9062
Cálculo
Valor aproximado
-1
0
1
Raízes em
e
.
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Cálculo | Valor aproximado |
| -1 |
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| 0 |
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| 1 |
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Passo 1
O enunciado nos dá a função
e uma tabela com avaliações em
,
e
(peguei estes números da tabela do enunciado):
- Para
: cálculo dado com valor aproximado . - Para
: cálculo dado com valor aproximado . - Para
: cálculo dado com valor aproximado .
O que se pede (implícito no enunciado): justificar, passo a passo, a existência de raízes de
nos intervalos
e
.
Passo 2
Vamos recalcular
passo a passo (para praticar a aritmética e conferir a tabela).
Sabendo que
, obtemos
Portanto
(negativo), confirmando o valor da tabela.
Passo 3
Agora recalculamos
.
Uma forma exata conhecida é
. Numericamente,
Logo
Portanto
(positivo), também conforme a tabela.
Passo 4
Recalculamos
.
Sabendo que
, obtemos
Portanto
(negativo), também de acordo com a tabela.
Passo 5
Pequena aula sobre continuidade (importante para o método que vamos usar).
- A função
é contínua em todos os pontos reais. - A função
é linear, logo contínua. - A soma de funções contínuas é contínua.
Logoé contínua em , em particular contínua no intervalo .
Explicação intuitiva de continuidade: uma função contínua não tem “saltos” — se
varia um pouco,
varia pouco. Isso permite garantir que valores intermediários entre
e
são atingidos por
em algum ponto entre
e
.
Passo 6
Enunciado do teorema que vamos usar (de forma simples): o Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz que se
é contínua em
e
e
têm sinais opostos (ou seja
), então existe pelo menos um
tal que
. Intuitivamente, uma curva contínua que vai de negativo a positivo (ou vice-versa) deve atravessar o eixo
.
Passo 7
Aplicando o TVI aos intervalos dados:
- Para o intervalo
: calculamos e . Como é contínua e , o TVI garante a existência de pelo menos um ponto tal que . Ou seja, existe raiz em . - Para o intervalo
: temos e . Novamente é contínua e , portanto existe pelo menos um ponto tal que . Ou seja, existe raiz em .
Observação curta sobre unicidade: o TVI garante ao menos uma raiz em cada intervalo onde ocorre mudança de sinal; não garante que a raiz seja única nesse intervalo sem informação extra (por exemplo monotonicidade). Aqui o enunciado afirma apenas existência nesses dois intervalos, e foi isso que foi demonstrado.
Resposta
Existe pelo menos uma raiz de
em
.
Existe pelo menos uma raiz de em
.
Existe pelo menos uma raiz de