Exercício 2 - Existência de raízes de f(x)=\cos \frac{\pi(x+1)}{8}+0,148 x- 0,9062
x Cálculo Valor aproximado
-1 \cos (0)+0,148(-1)-0,9062 -0,0542<0
0 \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)+0-0,9062 0,0177>0
1 \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+0,148-0,9062 -0,0511<0
Raízes em (-1,0) e (0,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\cos\!\left(\frac{\pi(x+1)}{8}\right)+0,148\,x-0,9062
e uma tabela com avaliações em x=-1, x=0 e x=1 (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Para x=-1: cálculo dado \cos(0)+0,148(-1)-0,9062 com valor aproximado -0,0542<0.
  • Para x=0: cálculo dado \cos\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)+0-0,9062 com valor aproximado 0,0177>0.
  • Para x=1: cálculo dado \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+0,148-0,9062 com valor aproximado -0,0511<0.
O que se pede (implícito no enunciado): justificar, passo a passo, a existência de raízes de f nos intervalos (-1,0) e (0,1).

Passo 2

Vamos recalcular f(-1) passo a passo (para praticar a aritmética e conferir a tabela).
f(-1)=\cos\!\left(\frac{\pi(-1+1)}{8}\right)+0,148(-1)-0,9062=\cos(0)-0,148-0,9062.
Sabendo que \cos(0)=1, obtemos
f(-1)=1-0,148-0,9062=1-(0,148+0,9062)=1-1,0542=-0,0542.
Portanto f(-1)=-0,0542 (negativo), confirmando o valor da tabela.

Passo 3

Agora recalculamos f(0).
f(0)=\cos\!\left(\frac{\pi(0+1)}{8}\right)+0,148\cdot 0-0,9062=\cos\!\left(\frac{\pi}{8}\right)-0,9062.
Uma forma exata conhecida é \cos\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}. Numericamente,
\cos\!\left(\frac{\pi}{8}\right)\approx 0,9238795.
Logo
f(0)\approx 0,9238795-0,9062=0,0176795\approx 0,0177.
Portanto f(0)\approx 0,0177 (positivo), também conforme a tabela.

Passo 4

Recalculamos f(1).
f(1)=\cos\!\left(\frac{\pi(1+1)}{8}\right)+0,148\cdot 1-0,9062=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)+0,148-0,9062.
Sabendo que \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071068, obtemos
f(1)\approx 0,7071068+0,148-0,9062=0,8551068-0,9062=-0,0510932\approx -0,0511.
Portanto f(1)\approx -0,0511 (negativo), também de acordo com a tabela.

Passo 5

Pequena aula sobre continuidade (importante para o método que vamos usar).
  • A função \cos(\cdot) é contínua em todos os pontos reais.
  • A função x\mapsto 0,148\,x é linear, logo contínua.
  • A soma de funções contínuas é contínua.
    Logo f é contínua em \mathbb{R}, em particular contínua no intervalo [-1,1].
Explicação intuitiva de continuidade: uma função contínua não tem “saltos” — se x varia um pouco, f(x) varia pouco. Isso permite garantir que valores intermediários entre f(a) e f(b) são atingidos por f em algum ponto entre a e b.

Passo 6

Enunciado do teorema que vamos usar (de forma simples): o Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz que se g é contínua em [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0. Intuitivamente, uma curva contínua que vai de negativo a positivo (ou vice-versa) deve atravessar o eixo x.

Passo 7

Aplicando o TVI aos intervalos dados:
  • Para o intervalo [-1,0]: calculamos f(-1)=-0,0542<0 e f(0)=0,0177>0. Como f é contínua e f(-1)\cdot f(0)<0, o TVI garante a existência de pelo menos um ponto c_1\in(-1,0) tal que f(c_1)=0. Ou seja, existe raiz em (-1,0).
  • Para o intervalo [0,1]: temos f(0)=0,0177>0 e f(1)=-0,0511<0. Novamente f é contínua e f(0)\cdot f(1)<0, portanto existe pelo menos um ponto c_2\in(0,1) tal que f(c_2)=0. Ou seja, existe raiz em (0,1).
Observação curta sobre unicidade: o TVI garante ao menos uma raiz em cada intervalo onde ocorre mudança de sinal; não garante que a raiz seja única nesse intervalo sem informação extra (por exemplo monotonicidade). Aqui o enunciado afirma apenas existência nesses dois intervalos, e foi isso que foi demonstrado.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz de f em (-1,0).
Existe pelo menos uma raiz de f em (0,1).

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