Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
sumn=2^infty(-3)^n+1 2^3-4 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a série sumn=2^infty (-3)^n+1 cdot 2^3-4n é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Temos:
(-3)^n+1 cdot 2^3-4n
Podemos reescrever isso assim:
(-3)^n+1 = (-3) cdot (-3)^n
E:
2^3-4n = 2^3 cdot 2^-4n = 8 cdot 2^-4n
Então, juntando tudo:
(-3)^n+1 cdot 2^3-4n = (-3) cdot 8 cdot (-3)^n cdot 2^-4n = -24 cdot ( -316 )^n

Passo 3

Agora, a série fica:
sumn=2^infty -24 cdot ( -316 )^n
Podemos fatorar o -24 fora da soma:
-24 cdot sumn=2^infty ( -316 )^n

Passo 4

Reconhecemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
Onde:
  • r = -316 é o primeiro termo
  • é a razão da série
No nosso caso, a série começa em , então precisamos ajustar a fórmula. Mas antes, vamos identificar :

Passo 5

Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão precisa ser menor que 1:
|r| < 1 Rightarrow | -316 | = 316 < 1
Como , a série converge.

Passo 6

Agora, vamos calcular a soma da série. A fórmula da soma de uma série geométrica que começa em S = a1 - r é:
S = a cdot r^21 - r
Mas nossa série começa em , então ajustamos a fórmula:
No nosso caso:

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
S = -24 cdot ( -316 )^21 - ( -316 ) = -24 cdot 92561 + 316
Simplificando o denominador:
1 + 316 = 1616 + 316 = 1916
Então:
S = -24 cdot 92561916 = -24 cdot 9256 cdot 1619

Passo 8

Multiplicando os números:
-24 cdot 9256 cdot 1619 = -24 cdot 1444864 = -34564864
Simplificando a fração:
Dividindo numerador e denominador por 144:
-2438 = -1219

Resposta

A série converge e a soma dela é:
-1219

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