Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Temos:
Podemos reescrever isso assim:
E:
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, a série fica:
Podemos fatorar o -24 fora da soma:
Passo 4
Reconhecemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
Onde:
é o primeiro termo
é a razão da série
No nosso caso, a série começa em , então precisamos ajustar a fórmula. Mas antes, vamos identificar :
Passo 5
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão precisa ser menor que 1:
Como , a série converge.
Passo 6
Agora, vamos calcular a soma da série. A fórmula da soma de uma série geométrica que começa em S = a1 - r é:
S = a cdot r^21 - r
Mas nossa série começa em , então ajustamos a fórmula: