y^{\prime \prime}+y^{\prime}+4 y=2 \operatorname{sen} t Sugestão: \operatorname{senh} t=\left(e^{t}-e^{-t}\right) / 2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+y'+4y=2\operatorname{sen}t
e sugere a fórmula \operatorname{senh}t=\dfrac{e^{t}-e^{-t}}{2} (essa sugestão é a definição da função seno hiperbólico; para esta equação, a fonte de forçamento é \operatorname{sen}t, ou seja, seno comum).
O que o problema pede: encontrar a solução geral y(t) da equação acima (solução geral = solução complementar da homogênea + uma solução particular da não homogênea).
Informações relevantes dadas:
  • Equação linear de segunda ordem com termo não homogêneo igual a 2\operatorname{sen}t.
  • Não há condições iniciais: deve-se apresentar a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Encontrar a solução da equação homogênea associada:
y''+y'+4y=0.
Método: procurar soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^{2}+r+4=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{-1\pm\sqrt{1-16}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{-15}}{2}=\frac{-1}{2}\pm \mathrm{i}\frac{\sqrt{15}}{2}.
Quando as raízes são complexas conjugadas r=\alpha\pm \mathrm{i}\beta (aqui \alpha=-\tfrac{1}{2}, \beta=\tfrac{\sqrt{15}}{2}), a forma geral da solução da homogênea é
y_h(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big).
Substituindo os valores de \alpha e \beta:
y_h(t)=e^{-t/2}\left(C_{1}\cos\!\left(\frac{\sqrt{15}}{2}t\right)+C_{2}\sin\!\left(\frac{\sqrt{15}}{2}t\right)\right),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Explicação curta do porquê: as partes reais geram decaimento e^{\alpha t} e as partes imaginárias geram oscilações \cos(\beta t), \sin(\beta t). Aqui \alpha<0 indica amortecimento exponencial.

Passo 3

Procurar uma solução particular y_p da equação completa
y''+y'+4y=2\operatorname{sen}t.
Método escolhido: coeficientes indeterminados (porque o lado direito é combinação de senos e cossenos). Regra prática: para uma forçante do tipo A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t) tenta-se uma solução do mesmo tipo
y_p(t)=a\cos t + b\sin t,
com a,b números a determinar. Antes de usar, verificar ressonância: se \cos t ou \sin t fosse solução da homogênea deveríamos multiplicar por t; porém a frequência da homogênea é \beta=\dfrac{\sqrt{15}}{2}\approx1{,}936, diferente de \omega=1, logo não há ressonância e a forma acima é adequada.
Agora calculamos as derivadas de y_p:
y_p'(t)=-a\sin t + b\cos t,
y_p''(t)=-a\cos t - b\sin t.

Passo 4

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação e igualar coeficientes:
y_p''+y_p'+4y_p = (-a\cos t - b\sin t) + (-a\sin t + b\cos t) + 4(a\cos t + b\sin t).
Agrupando termos em \cos t e \sin t:
\begin{aligned} \text{coeficiente de }\cos t &: -a + b + 4a = 3a + b,\\\ \text{coeficiente de }\sin t &: -b - a + 4b = -a + 3b. \end{aligned}
Portanto
y_p''+y_p'+4y_p=(3a+b)\cos t +(-a+3b)\sin t.
Queremos isso igual a 2\sin t + 0\cos t. Igualando coeficientes:
\begin{cases} 3a + b = 0,\\[4pt] - a + 3b = 2. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema linear para a e b. Da primeira equação b=-3a. Substituindo na segunda:
- a + 3(-3a)=2 \quad\Rightarrow\quad -a -9a =2 \quad\Rightarrow\quad -10a=2.
Logo
a=-\frac{1}{5}.
E
b=-3a=-3\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{5}.
Assim a solução particular é
y_p(t)=-\frac{1}{5}\cos t + \frac{3}{5}\sin t.

Passo 6

Escrever a solução geral somando a homogênea e a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t).
Substituindo as expressões obtidas:
y(t)=e^{-t/2}\left(C_{1}\cos\!\left(\frac{\sqrt{15}}{2}t\right)+C_{2}\sin\!\left(\frac{\sqrt{15}}{2}t\right)\right)-\frac{1}{5}\cos t+\frac{3}{5}\sin t,
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.
Comentário final e incentivo: pronto — essa é a solução geral. Num exame, siga exatamente esses passos: (i) resolver a homogênea com a equação característica, (ii) escolher um ansatz para y_p conforme a forma do termo de forçamento, (iii) substituir e resolver o sistema para os coeficientes. Se sentir nervoso, repita o processo com calma; funciona sempre para termos do tipo polinômio, exponencial, seno/cosseno (com cuidados de ressonância).

Resposta

y(t)=e^{-t/2}\left(C_{1}\cos\!\left(\frac{\sqrt{15}}{2}t\right)+C_{2}\sin\!\left(\frac{\sqrt{15}}{2}t\right)\right)-\frac{1}{5}\cos t+\frac{3}{5}\sin t.

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