Sugestão:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e sugere a fórmula
(essa sugestão é a definição da função seno hiperbólico; para esta equação, a fonte de forçamento é
, ou seja, seno comum).
O que o problema pede: encontrar a solução geral da equação acima (solução geral = solução complementar da homogênea + uma solução particular da não homogênea).
Informações relevantes dadas:
O que o problema pede: encontrar a solução geral
Informações relevantes dadas:
- Equação linear de segunda ordem com termo não homogêneo igual a
. - Não há condições iniciais: deve-se apresentar a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Encontrar a solução da equação homogênea associada:
Método: procurar soluções do tipo
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Resolvendo a quadrática:
Quando as raízes são complexas conjugadas
(aqui
,
), a forma geral da solução da homogênea é
Substituindo os valores de
e
:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação curta do porquê: as partes reais geram decaimento
e as partes imaginárias geram oscilações
,
. Aqui
indica amortecimento exponencial.
Passo 3
Procurar uma solução particular
da equação completa
Método escolhido: coeficientes indeterminados (porque o lado direito é combinação de senos e cossenos). Regra prática: para uma forçante do tipo
tenta-se uma solução do mesmo tipo
com
números a determinar. Antes de usar, verificar ressonância: se
ou
fosse solução da homogênea deveríamos multiplicar por
; porém a frequência da homogênea é
, diferente de
, logo não há ressonância e a forma acima é adequada.
Agora calculamos as derivadas de
:
Passo 4
Substituir
,
e
na equação e igualar coeficientes:
Agrupando termos em
e
:
Portanto
Queremos isso igual a
. Igualando coeficientes:
Passo 5
Resolver o sistema linear para
e
. Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Logo
E
Assim a solução particular é
Passo 6
Escrever a solução geral somando a homogênea e a particular:
Substituindo as expressões obtidas:
com
constantes arbitrárias.
Comentário final e incentivo: pronto — essa é a solução geral. Num exame, siga exatamente esses passos: (i) resolver a homogênea com a equação característica, (ii) escolher um ansatz para
conforme a forma do termo de forçamento, (iii) substituir e resolver o sistema para os coeficientes. Se sentir nervoso, repita o processo com calma; funciona sempre para termos do tipo polinômio, exponencial, seno/cosseno (com cuidados de ressonância).