Comportamento de Soluções quando \boldsymbol{t} \rightarrow \infty. Continuamos a discussão iniciada nos Problemas 28 a 30 na Seção 3.4. Considere a equação diferencial
a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=g(t),
em que a, b e c são constantes positivas.
Se g(t)=d, uma constante, mostre que toda solução da Eq. (35) tende a d / c quando t \rightarrow \infty. O que acontece se c=0 ? E se b também for nulo?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
a y''+b y'+c y = g(t),
onde a,b,c>0 são constantes. Considera-se o caso g(t)=d (constante). As perguntas são:
  • Mostrar que toda solução tende a \dfrac{d}{c} quando t\to\infty (no caso c>0).
  • O que acontece se c=0 ?
  • E o que acontece se além de c=0 também b=0 ?
Informações relevantes dadas:
  • a,b,c são constantes; inicialmente a,b,c>0.
  • Fornecido g(t)=d constante (podemos assumir d arbitrário).
  • Deseja-se analisar o comportamento das soluções quando t\to\infty, nos três cenários solicitados.

Passo 2

Estratégia geral e ideia útil (ferramenta que vamos usar): para equações lineares com coeficientes constantes, a solução geral é soma de uma solução particular y_p de toda a equação e da solução geral y_h da equação homogênea correspondente
a y''+b y'+c y=0.
Assim
y(t)=y_p(t)+y_h(t).
Se conseguirmos escolher y_p que seja constante e mostrar que y_h(t)\to0 quando t\to\infty, então y(t)\to y_p. Vamos aplicar isso.

Passo 3

Encontrar uma solução particular quando c\neq0.
Procuramos uma solução particular constante, y_p= constante. Se y_p é constante então y_p'=y_p''=0. Substituindo em
a y''+b y'+c y=d
obtemos
c y_p = d.
Como c\neq0, existe solução particular
y_p=\frac{d}{c}.
Portanto qualquer solução tem a forma
y(t)=\frac{d}{c}+y_h(t),
onde y_h satisfaz a homogênea a y_h''+b y_h'+c y_h=0.

Passo 4

Resolver a homogênea e analisar comportamento assintótico (caso a,b,c>0).
A equação homogênea tem equação característica
a r^2 + b r + c = 0.
As raízes são
r_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Vamos mostrar que em todos os casos as partes reais das raízes são negativas, o que implica que exponenciais e^{r t} decaem quando t\to\infty.
Razão simples: para a quadrática a r^2 + b r + c com a>0, soma das raízes é
r_1+r_2 = -\frac{b}{a}<0
e produto das raízes é
r_1 r_2 = \frac{c}{a}>0.
Dessas duas propriedades segue que ou as duas raízes são reais e negativas, ou são conjugadas complexas com parte real negativa. Alternativamente, pela fórmula explícita, a parte real das raízes é -\dfrac{b}{2a}<0. Em qualquer caso, todas as soluções da homogênea têm a forma linear em exponenciais decrescentes:
  • se raízes reais distintas: y_h=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t} com r_1,r_2<0,
  • se raízes reais iguais: y_h=(C_1 + C_2 t)e^{r t} com r<0,
  • se raízes complexas conjugadas: y_h=e^{\alpha t}(A\cos\beta t + B\sin\beta t) com \alpha<0.
Em todas as alternativas y_h(t)\to0 quando t\to\infty, porque as exponenciais têm expoente negativo.

Passo 5

Conclusão do caso c>0.
Juntando Passo 3 e Passo 4: como
y(t)=\frac{d}{c}+y_h(t)
e y_h(t)\to0 quando t\to\infty, segue que
\lim_{t\to\infty} y(t)=\frac{d}{c}.
Intuição curta: a parte forçada constante puxa a solução para \dfrac{d}{c}, enquanto as componentes homogêneas decaem exponencialmente por causa do amortecimento provido por b>0 (ou, mais formalmente, pelas partes reais negativas das raízes).

Passo 6

Caso c=0 (com b>0 mantido).
Agora a equação é
a y'' + b y' = d.
Primeiro observe a homogênea correspondente:
a y_h'' + b y_h' = 0.
A equação característica é
a r^2 + b r = r(a r + b) = 0,
portanto as raízes são r=0 e r=-\dfrac{b}{a}. Assim a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 + C_2 e^{-\frac{b}{a}t}.
Note que há uma componente constante (devida à raiz r=0) e uma exponencial decrescente.
Para achar uma particular para a y''+b y'=d, a tentativa de y_p= constante falha porque, substituindo, daria 0=d que não é verdadeiro em geral. Como a homogênea contém uma constante, devemos tentar uma particular de grau mais alto em t; a forma natural é y_p = A t. Calculamos
y_p' = A,\qquad y_p''=0.
Substituindo em a y''+b y' = d b A = d, logo
A=\frac{d}{b},
e
y_p(t)=\frac{d}{b}t.
A solução geral é
y(t) = C_1 + C_2 e^{-\frac{b}{a}t} + \frac{d}{b}t.
Compondo o comportamento quando t\to\infty: o termo exponencial decai, o termo C_1 é constante e o termo \dfrac{d}{b}t cresce (ou decresce) sem limite linearmente, a menos que d=0. Portanto, para d\neq0 as soluções não tendem a um limite finito; apresentam crescimento linear dominado por \dfrac{d}{b}t. Se d=0 então y_p=0 e y(t)\to C_1 (ou seja, tendem a constantes que dependem da condição inicial).

Passo 7

Caso b=0 e c=0 (ou seja, a y'' = d).
A equação fica
a y'' = d.
Integrando duas vezes obtemos
y'(t) = \frac{d}{a} t + C_1, \qquad y(t) = \frac{d}{2a} t^2 + C_1 t + C_2.
Assim, para d\neq0 as soluções crescem quadraticamente quando t\to\infty (não há amortecimento nenhum). Para d=0 voltamos a funções lineares y(t)=C_1 t + C_2; em geral não há limite finito a menos que as constantes ajustem para anular os termos em t e t^2.

Passo 8

Resumo final, com interpretação e observações práticas.
  • Se a,b,c>0 e g(t)=d constante, toda solução tende a \dfrac{d}{c} quando t\to\infty. Isso ocorre porque existe solução particular constante d/c e as soluções da homogênea decaem exponencialmente (raízes da característica têm parte real negativa).
  • Se c=0 mas b>0, então as soluções gerais têm termo particular linear \dfrac{d}{b}t e assim, para d\neq0, não há limite finito: y(t) cresce (ou decresce) linearmente como \dfrac{d}{b}t. Se d=0 então as soluções tendem a constantes.
  • Se c=0 e b=0, então a y''=d e as soluções são quadráticas \dfrac{d}{2a}t^2 + C_1 t + C_2; para d\neq0 crescem quadraticamente e não têm limite finito.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t)=\frac{d}{c} quando a,b,c>0.\n
Se c=0 (com b>0) então y(t)=C_1+C_2 e^{-\frac{b}{a}t}+\dfrac{d}{b}t e, para d\neq0, y(t) diverge linearmente como \dfrac{d}{b}t (não há limite finito).\n
Se c=0 e b=0 então y(t)=\dfrac{d}{2a}t^2+C_1 t+C_2 e, para d\neq0, y(t) diverge quadraticamente (não há limite finito).

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