Comportamento de Soluções quando
. Continuamos a discussão iniciada nos Problemas 28 a 30 na Seção 3.4. Considere a equação diferencial
em que
e c são constantes positivas.
Se
, uma constante, mostre que toda solução da Eq. (35) tende a
quando
. O que acontece se
? E se
também for nulo?
Se
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
são constantes. Considera-se o caso
(constante). As perguntas são:
- Mostrar que toda solução tende a
quando (no caso ). - O que acontece se
? - E o que acontece se além de
também ?
Informações relevantes dadas:
-
são constantes; inicialmente . - Fornecido
constante (podemos assumir arbitrário). - Deseja-se analisar o comportamento das soluções quando
, nos três cenários solicitados.
Passo 2
Estratégia geral e ideia útil (ferramenta que vamos usar): para equações lineares com coeficientes constantes, a solução geral é soma de uma solução particular
de toda a equação e da solução geral
da equação homogênea correspondente
Assim
Se conseguirmos escolher
que seja constante e mostrar que
quando
, então
. Vamos aplicar isso.
Passo 3
Encontrar uma solução particular quando
.
Procuramos uma solução particular constante,
constante. Se
é constante então
. Substituindo em
obtemos
Como
, existe solução particular
Portanto qualquer solução tem a forma
onde
satisfaz a homogênea
.
Passo 4
Resolver a homogênea e analisar comportamento assintótico (caso
).
A equação homogênea tem equação característica
As raízes são
Vamos mostrar que em todos os casos as partes reais das raízes são negativas, o que implica que exponenciais
decaem quando
.
Razão simples: para a quadrática
com
, soma das raízes é
e produto das raízes é
Dessas duas propriedades segue que ou as duas raízes são reais e negativas, ou são conjugadas complexas com parte real negativa. Alternativamente, pela fórmula explícita, a parte real das raízes é
. Em qualquer caso, todas as soluções da homogênea têm a forma linear em exponenciais decrescentes:
- se raízes reais distintas:
com , - se raízes reais iguais:
com , - se raízes complexas conjugadas:
com .
Em todas as alternativas
quando
, porque as exponenciais têm expoente negativo.
Passo 5
Conclusão do caso
.
Juntando Passo 3 e Passo 4: como
e
quando
, segue que
Intuição curta: a parte forçada constante puxa a solução para
, enquanto as componentes homogêneas decaem exponencialmente por causa do amortecimento provido por
(ou, mais formalmente, pelas partes reais negativas das raízes).
Passo 6
Caso
(com
mantido).
Agora a equação é
Primeiro observe a homogênea correspondente:
A equação característica é
portanto as raízes são
e
. Assim a solução homogênea é
Note que há uma componente constante (devida à raiz
) e uma exponencial decrescente.
Para achar uma particular para
, a tentativa de
constante falha porque, substituindo, daria
que não é verdadeiro em geral. Como a homogênea contém uma constante, devemos tentar uma particular de grau mais alto em
; a forma natural é
. Calculamos
Substituindo em
dá
, logo
e
A solução geral é
Compondo o comportamento quando
: o termo exponencial decai, o termo
é constante e o termo
cresce (ou decresce) sem limite linearmente, a menos que
. Portanto, para
as soluções não tendem a um limite finito; apresentam crescimento linear dominado por
. Se
então
e
(ou seja, tendem a constantes que dependem da condição inicial).
Passo 7
Caso
e
(ou seja,
).
A equação fica
Integrando duas vezes obtemos
Assim, para
as soluções crescem quadraticamente quando
(não há amortecimento nenhum). Para
voltamos a funções lineares
; em geral não há limite finito a menos que as constantes ajustem para anular os termos em
e
.
Passo 8
Resumo final, com interpretação e observações práticas.
- Se
e constante, toda solução tende a quando . Isso ocorre porque existe solução particular constante e as soluções da homogênea decaem exponencialmente (raízes da característica têm parte real negativa). - Se
mas , então as soluções gerais têm termo particular linear e assim, para , não há limite finito: cresce (ou decresce) linearmente como . Se então as soluções tendem a constantes. - Se
e , então e as soluções são quadráticas ; para crescem quadraticamente e não têm limite finito.
Resposta
Se
Se