Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com a condição explícita
. O que se pede é a solução geral
dessa equação (isto é, a família de soluções que contém as constantes arbitrárias que aparecem na solução da homogênea).
Informações relevantes que temos:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo é
, uma função periódica. - A condição
indica que não há ressonância entre a frequência de excitação e a frequência natural .
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Para resolver, usamos o polinômio característico. Suponha
. Substituindo na homogênea dá
As raízes são
. Quando as raízes são puramente imaginárias
, a solução geral da homogênea é uma combinação linear de cosseno e seno:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais). Explicando: as soluções
e
aparecem porque correspondem às partes real e imaginária de
.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. Como o termo forçante é
, o método dos coeficientes indeterminados sugere tentar uma combinação de
e
:
com
e
constantes a determinar. Justificativa didática: funções trigonométricas aplicadas por operadores lineares com coeficientes constantes retornam combinações de seno e cosseno; por isso este tipo de ansatz costuma funcionar. Observação importante: se
(ressonância) esse ansatz coincide com a solução homogênea e falha — aí seria preciso multiplicar por
. Mas como
, o ansatz acima é adequado.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
e substituímos na equação.
Derivadas:
Substituindo em
obtemos
Agrupando termos em
e
:
Passo 5
Comparando coeficientes de
e
dos dois lados, obtemos o sistema
Como
, o fator
é diferente de zero, então podemos dividir por ele. Assim
Portanto a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:
Comentário didático final: a parte
é a resposta transitória — depende das condições iniciais e tende a persistir como oscilações naturais — e o termo
é a resposta forçada estacionária, com amplitude inversamente proporcional à diferença entre as frequências ao quadrado. Se
se aproximasse de
, a amplitude do forçamento cresce (próximo da ressonância). Na exata ressonância
seria necessário usar um ansatz diferente (multiplicar por
), e a solução particular teria forma
.