Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
u^{\prime \prime}+\omega_{0}^{2} u=\cos (\omega t), \omega^{2} \neq \omega_{0}^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
u''+\omega_{0}^{2}u=\cos(\omega t),
com a condição explícita \omega^{2}\neq\omega_{0}^{2}. O que se pede é a solução geral u(t) dessa equação (isto é, a família de soluções que contém as constantes arbitrárias que aparecem na solução da homogênea).
Informações relevantes que temos:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é \cos(\omega t), uma função periódica.
  • A condição \omega^{2}\neq\omega_{0}^{2} indica que não há ressonância entre a frequência de excitação \omega e a frequência natural \omega_{0}.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
u''+\omega_{0}^{2}u=0.
Para resolver, usamos o polinômio característico. Suponha u(t)=e^{rt}. Substituindo na homogênea dá
r^{2}+\omega_{0}^{2}=0.
As raízes são r=\pm i\omega_{0}. Quando as raízes são puramente imaginárias \pm i\omega_{0}, a solução geral da homogênea é uma combinação linear de cosseno e seno:
u_{h}(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t),
onde A e B são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais). Explicando: as soluções \cos(\omega_0 t) e \sin(\omega_0 t) aparecem porque correspondem às partes real e imaginária de e^{i\omega_0 t}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular u_{p}(t) da equação completa. Como o termo forçante é \cos(\omega t), o método dos coeficientes indeterminados sugere tentar uma combinação de \cos(\omega t) e \sin(\omega t):
u_{p}(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t),
com C e D constantes a determinar. Justificativa didática: funções trigonométricas aplicadas por operadores lineares com coeficientes constantes retornam combinações de seno e cosseno; por isso este tipo de ansatz costuma funcionar. Observação importante: se \omega=\omega_{0} (ressonância) esse ansatz coincide com a solução homogênea e falha — aí seria preciso multiplicar por t. Mas como \omega^{2}\neq\omega_{0}^{2}, o ansatz acima é adequado.

Passo 4

Calculemos as derivadas de u_{p} e substituímos na equação.
Derivadas:
u_{p}'(t) = -C\omega\sin(\omega t)+D\omega\cos(\omega t),
u_{p}''(t) = -C\omega^{2}\cos(\omega t)-D\omega^{2}\sin(\omega t).
Substituindo em u''+\omega_{0}^{2}u=\cos(\omega t) obtemos
\big(-C\omega^{2}\cos(\omega t)-D\omega^{2}\sin(\omega t)\big)+\omega_{0}^{2}\big(C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t)\big)=\cos(\omega t).
Agrupando termos em \cos(\omega t) e \sin(\omega t):
\big(C(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\big)\cos(\omega t)+\big(D(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\big)\sin(\omega t)=\cos(\omega t).

Passo 5

Comparando coeficientes de \cos(\omega t) e \sin(\omega t) dos dois lados, obtemos o sistema
C(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})=1, \qquad D(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})=0.
Como \omega^{2}\neq\omega_{0}^{2}, o fator \omega_{0}^{2}-\omega^{2} é diferente de zero, então podemos dividir por ele. Assim
D=0,\qquad C=\frac{1}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}.
Portanto a solução particular é
u_{p}(t)=\frac{1}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\cos(\omega t).

Passo 6

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:
u(t)=u_{h}(t)+u_{p}(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t)+\frac{\cos(\omega t)}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}.
Comentário didático final: a parte A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t) é a resposta transitória — depende das condições iniciais e tende a persistir como oscilações naturais — e o termo \dfrac{\cos(\omega t)}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} é a resposta forçada estacionária, com amplitude inversamente proporcional à diferença entre as frequências ao quadrado. Se \omega se aproximasse de \omega_{0}, a amplitude do forçamento cresce (próximo da ressonância). Na exata ressonância \omega=\omega_{0} seria necessário usar um ansatz diferente (multiplicar por t), e a solução particular teria forma \dfrac{t}{2\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t).

Resposta

u(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t)+\dfrac{\cos(\omega t)}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}

Exercícios relacionados