(Yunus e William, 2014) Resolva os problemas de valor inicial:
\dot{y}+3(y-1)=2 t, \quad y(0)=4;

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
\dot{y}+3(y-1)=2t
com condição inicial y(0)=4.
O conteúdo é resolução de EDO linear usando fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo a equação para isolar \dot{y}+3y:
\dot{y}+3y=2t+3.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t)=e^{\int 3\,dt}=e^{3t}.
Multiplicando a EDO por \mu(t) fica
e^{3t}\dot{y}+3e^{3t}y=e^{3t}(2t+3).

Passo 4

O lado esquerdo é a derivada do produto y\,e^{3t}:
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{3t}\bigr)=e^{3t}(2t+3).
Agora integramos ambos os lados em t.

Passo 5

Calculamos
\int e^{3t}(2t+3)\,dt =\int 3e^{3t}\,dt+\int 2t\,e^{3t}\,dt.
A primeira integral é
\int 3e^{3t}\,dt=e^{3t}.
Na segunda, por partes com u=2t, dv=e^{3t}dt, vem
\int 2t\,e^{3t}dt =\frac{2t}{3}e^{3t}-\int\frac{2}{3}e^{3t}dt =\frac{2t}{3}e^{3t}-\frac{2}{9}e^{3t}.
Somando e incluindo constante C:
\int e^{3t}(2t+3)\,dt =\frac{2t}{3}e^{3t}+\frac{7}{9}e^{3t}+C.

Passo 6

Temos então
y\,e^{3t}=\frac{2t}{3}e^{3t}+\frac{7}{9}e^{3t}+C \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{2t}{3}+\frac{7}{9}+C\,e^{-3t}.

Passo 7

Usando y(0)=4:
4=\frac{2\cdot0}{3}+\frac{7}{9}+C \quad\Longrightarrow\quad C=4-\frac{7}{9}=\frac{29}{9}.

Resposta

A solução do PVI é
\boxed{y(t)=\frac{2t}{3}+\frac{7}{9}+\frac{29}{9}\,e^{-3t}}.

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