(Yunus e William, 2014) Resolva os problemas de valor inicial:
\dot{y}+y=0, \quad y(0)=1;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem linear homogênea \dot{y}+y=0
com condição inicial y(0)=1.
O método mais direto é separar variáveis ou reconhecer que se trata de uma equação com coeficiente constante.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos \dot{y}=-y
e, portanto, separando variáveis,
\frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = -\,\mathrm{d}t.
Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = \int -\,\mathrm{d}t.

Passo 3

O resultado das integrais é
\ln|y| = -t + C,
onde C é uma constante. Exponenciando, obtemos a solução geral
y(t) = A e^{-t},
com A = e^{C}.

Passo 4

Para determinar A, usamos a condição inicial y(0)=1:
1 = A e^{0} \implies A = 1.
Logo, a solução particular é
y(t) = e^{-t}.

Resposta

y(t) = e^{-t}.

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