(Zill e Cullen, 2001) Resolva o problema de valor inicial: t \frac{d y}{d t}+y=2 t, \quad y(1)=0, Resp:. y=t-\frac{1}{t}.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
t\,\frac{dy}{dt} + y = 2t,\quad y(1)=0,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos colocar na forma padrão
\frac{dy}{dt} + P(t)\,y = Q(t)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por t (considerando t\neq0), obtemos
\frac{dy}{dt} + \frac{1}{t}\,y = 2.
Aqui P(t)=\tfrac1t. O fator integrante é
\mu(t) = \exp\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int \tfrac{1}{t}\,dt\Bigr) = \exp(\ln t) = t.

Passo 3

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t)=t, obtendo
t\,\frac{dy}{dt} + y = 2t,
cujo lado esquerdo é exatamente \frac{d}{dt}(t\,y). Logo,
\frac{d}{dt}(t\,y) = 2t.
Integrando em relação a t,
t\,y = \int 2t\,dt = t^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolando y, temos
y = \frac{t^2 + C}{t} = t + \frac{C}{t}.
Para achar C, usamos a condição inicial y(1)=0:
0 = 1 + \frac{C}{1}\quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Portanto a solução do problema de valor inicial é
y = t - \frac{1}{t}.

Resposta

y = t - \frac{1}{t}.

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