Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y)=y^{2} \ln x, \quad ponto (2,4)

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação máxima de
f(x,y)=y^{2}\ln x
no ponto (2,4) e a direção em que isso ocorre. Esse conteúdo se resolve usando derivadas parciais para montar o gradiente de f, pois a direção de maior crescimento de f é dada pelo vetor gradiente e a taxa máxima é o módulo desse gradiente.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
Para \partial f/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2}\,\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{y^{2}}{x}.
Para \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \ln x\;\frac{d}{dy}(y^{2}) = 2y\,\ln x.
Logo o gradiente é
\nabla f(x,y) =\Bigl(\frac{y^{2}}{x},\,2y\ln x\Bigr).

Passo 3

Avaliar o gradiente em (2,4):
\nabla f(2,4) =\Bigl(\frac{4^{2}}{2},\,2\cdot4\ln 2\Bigr) =(8,\;8\ln 2).

Passo 4

A taxa de variação máxima é o módulo de \nabla f(2,4):
\|\nabla f(2,4)\| =\sqrt{8^{2}+(8\ln 2)^{2}} =8\sqrt{1+(\ln 2)^{2}}.

Passo 5

A direção de maior crescimento é o vetor unitário na direção de \nabla f(2,4):
\mathbf{u} =\frac{1}{\|\nabla f(2,4)\|}(8,\,8\ln 2) =\frac{1}{\sqrt{1+(\ln 2)^{2}}}\bigl(1,\ln 2\bigr).

Resposta

A taxa de variação máxima é
8\sqrt{1+(\ln 2)^{2}}
e ocorre na direção do vetor unitário
\frac{1}{\sqrt{1+(\ln 2)^{2}}}\,(1,\ln 2).

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