Passo 1
O enunciado é curto: pede o valor de
dado que
.
Informações relevantes: o símbolo indica uma (ou mais) raízes quadradas do número
. Não há mais dados no enunciado.
Informações relevantes: o símbolo
Passo 2
Primeira coisa importante: o que significa
em termos algébricos?
Por definição, um número é uma raiz quadrada de
se e somente se
Por definição, um número
Ou seja, procurar
é equivalente a procurar todos os
que satisfazem
.
Passo 3
Método mais direto (fatoração): escrevemos a equação
e trazemos tudo para um lado:
Reconhecemos uma diferença de quadrados e fatoramos:
Para que o produto seja zero, pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Logo
o que dá
Passo 4
Verificação via escrita com partes reais e imaginárias (útil quando há dúvida): suponha
com
. Então
Queremos
. Igualando partes real e imaginária:
Da segunda equação
vem
ou
. Se
então da primeira teríamos
, impossível em
. Portanto
, e então
, ou seja
. Assim
ou
, consistente com a fatoração.
Passo 5
Intuição em forma polar (útil para outras raízes quadradas complexas): escrevemos
como número complexo em forma exponencial:
As raízes quadradas são dadas por
Tomando
obtemos
; tomando
obtemos
. Esses são os dois valores distintos possíveis.
Passo 6
Observação sobre valor principal: na matemática real costuma-se usar a convenção da raiz quadrada principal, que para um número real não negativo é o valor não negativo. Assim a raiz quadrada principal de
é
. Mas quando perguntam por
sem qualificação no contexto de números complexos, normalmente listamos ambas as raízes:
e
.