1. z=\sqrt{1}

Passo 1

O enunciado é curto: pede o valor de z dado que z=\sqrt{1}.
Informações relevantes: o símbolo \sqrt{\;} indica uma (ou mais) raízes quadradas do número 1. Não há mais dados no enunciado.

Passo 2

Primeira coisa importante: o que significa \sqrt{1} em termos algébricos?
Por definição, um número w é uma raiz quadrada de 1 se e somente se
w^2 = 1.
Ou seja, procurar \sqrt{1} é equivalente a procurar todos os w que satisfazem w^2=1.

Passo 3

Método mais direto (fatoração): escrevemos a equação
z^2 = 1
e trazemos tudo para um lado:
z^2 - 1 = 0.
Reconhecemos uma diferença de quadrados e fatoramos:
z^2 - 1 = (z-1)(z+1).
Para que o produto seja zero, pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Logo
z-1=0 \quad\text{ou}\quad z+1=0,
o que dá
z=1 \quad\text{ou}\quad z=-1.

Passo 4

Verificação via escrita com partes reais e imaginárias (útil quando há dúvida): suponha z=a+bi com a,b\in\mathbb{R}. Então
z^2=(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2ab\,i.
Queremos z^2=1+0i. Igualando partes real e imaginária:
a^2 - b^2 = 1,\qquad 2ab = 0.
Da segunda equação 2ab=0 vem a=0 ou b=0. Se a=0 então da primeira teríamos -b^2=1, impossível em \mathbb{R}. Portanto b=0, e então a^2=1, ou seja a=\pm 1. Assim z=1 ou z=-1, consistente com a fatoração.

Passo 5

Intuição em forma polar (útil para outras raízes quadradas complexas): escrevemos 1 como número complexo em forma exponencial:
1 = e^{i(2k\pi)}\quad\text{para }k\in\mathbb{Z}.
As raízes quadradas são dadas por
\sqrt{1} = e^{i(2k\pi/2)} = e^{i k\pi} = (-1)^k.
Tomando k=0 obtemos 1; tomando k=1 obtemos -1. Esses são os dois valores distintos possíveis.

Passo 6

Observação sobre valor principal: na matemática real costuma-se usar a convenção da raiz quadrada principal, que para um número real não negativo é o valor não negativo. Assim a raiz quadrada principal de 1 é 1. Mas quando perguntam por \sqrt{1} sem qualificação no contexto de números complexos, normalmente listamos ambas as raízes: 1 e -1.

Resposta

z=1
z=-1

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