Se z=e^x sen y, onde x=s t^2 e y=s^2 t, determine partial z / partial s e partial z / partial t.

Passo 1

O enunciado dá a função composta z = e^xsin y com as variáveis internas definidas por x = s t^2 e y = s^2 t. O conteúdo aqui é derivadas parciais usando a regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular partial zpartial s aplicamos a regra da cadeia: primeiro identificamos
partial zpartial s = partial zpartial xpartial xpartial s + partial zpartial ypartial ypartial s
Sabemos que
partial zpartial x = e^xsin y, partial xpartial s = t^2,
partial zpartial y = e^xcos y, partial ypartial s = 2st
Substituindo tudo, vem
partial zpartial s = e^xsin y,(t^2) + e^xcos y,(2st)
e, fatorando e^x e usando x = st^2, y = s^2t:
partial zpartial s = e^st^2l(t^2sin(s^2t) + 2stcos(s^2t)r)

Passo 3

Para calcular partial zpartial t fazemos o mesmo esquema:
partial zpartial t = partial zpartial xpartial xpartial t + partial zpartial ypartial ypartial t
Como antes partial zpartial x = e^xsin y e partial zpartial y = e^xcos y. Além disso,
partial xpartial t = 2st, partial ypartial t = s^2
Então
partial zpartial t = e^xsin y,(2st) + e^xcos y,(s^2)
que fica, depois de fatorar e substituir x e y:
partial zpartial t = e^st^2l(2stsin(s^2t) + s^2cos(s^2t)r)

Resposta

As derivadas parciais são
partial zpartial s = e^st^2l(t^2sin(s^2t) + 2stcos(s^2t)r),
partial zpartial t = e^st^2l(2stsin(s^2t) + s^2cos(s^2t)r)

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