Mostre que a função u(x, y)=e^x sen y é solução da equação de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função u(x,y)=e^xsin y satisfaz a equação de Laplace, que diz que a soma das segundas derivadas parciais é zero:
partial^2upartial x^2 + partial^2upartial y^2 = 0
Para isso, vamos calcular as segundas derivadas de u.

Passo 2

Começamos pelas derivadas em relação a x. Como u(x,y)=e^xsin y, tratamos sin y como constante ao derivar em x.
partial upartial x = e^xsin y,
e derivando de novo em x:
partial^2upartial x^2 = e^xsin y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas em relação a y. Aqui e^x é constante e a derivada de sin y é cos y.
partial upartial y = e^xcos y,
seguida da segunda derivada em y:
partial^2upartial y^2 = e^x(-sin y) = -e^xsin y

Passo 4

Para verificar a equação de Laplace, somamos as duas segundas derivadas:
partial^2upartial x^2 + partial^2upartial y^2 = e^xsin y + (-e^xsin y) = 0
Como a soma é zero, concluímos que u satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função u(x,y)=e^xsin y satisfaz De, logo é solução da equação de Laplace.

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