Mostre que a função
sen
é solução da equação de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
satisfaz a equação de Laplace, que diz que a soma das segundas derivadas parciais é zero:
Para isso, vamos calcular as segundas derivadas de
.
Passo 2
Começamos pelas derivadas em relação a
. Como
, tratamos
como constante ao derivar em
.
e derivando de novo em
:
Passo 3
Agora calculamos as derivadas em relação a
. Aqui
é constante e a derivada de
é
.
seguida da segunda derivada em
:
Passo 4
Para verificar a equação de Laplace, somamos as duas segundas derivadas:
Como a soma é zero, concluímos que
satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
A função
satisfaz
, logo é solução da equação de Laplace.