Solução: Completamente controlável:
; Completamente observável:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente está trabalhando com espaço de estados, que é uma forma de representar sistemas dinâmicos usando matrizes. No enunciado, temos duas equações que descrevem como o sistema evolui ao longo do tempo e como a saída
y(k)
está relacionada ao estado do sistema. Precisamos verificar se o sistema é completamente controlável e completamente observável. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as matrizes de controlabilidade e observabilidade.Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre controlabilidade. Um sistema é controlável se, a partir de qualquer estado inicial, conseguimos mover o sistema para qualquer outro estado em algum instante de tempo, usando as entradas de controle disponíveis.
Para verificar a controlabilidade, usamos a matriz de controlabilidade, que é formada pelas matrizes
A
e B
do sistema. No nosso caso, a matriz A
é:E a matriz
B
é:A matriz de controlabilidade
C
é construída assim:Vamos calcular
AB
:Então, a matriz de controlabilidade fica:
Para que o sistema seja completamente controlável, essa matriz precisa ter posto máximo, ou seja, todas as suas colunas devem ser linearmente independentes. Isso acontece se o determinante de
C
for diferente de zero.Calculando o determinante:
Então, o sistema é completamente controlável se:
Passo 3
Agora, vamos verificar a observabilidade do sistema. Um sistema é observável se, a partir da saída
y(k)
, podemos determinar todo o estado interno do sistema ao longo do tempo.Para isso, usamos a matriz de observabilidade, que é formada pelas matrizes
A
e C
, onde C
aqui é a matriz de saída:A matriz de observabilidade
O
é construída assim:Vamos calcular
C_{\text{saída}} A
:Então, a matriz de observabilidade fica:
Para que o sistema seja completamente observável, essa matriz também precisa ter posto máximo, ou seja, todas as suas linhas devem ser linearmente independentes. Isso acontece se o determinante de
O
for diferente de zero.Calculando o determinante:
Então, o sistema é completamente observável se:
Resposta
Completamente controlável: $ a + b \neq c + d $; Completamente observável: $ b \neq 0 $.