[l x1(k+1) x2(k+1) ] & =[ll a & b c & d ][l x1(k) x2(k) ]+[l 1 1 ] u(k) y(k) & =[ll 1 & 0 ][l x1(k) x2(k) ]
Solução: Completamente controlável: a+b neq c+d; Completamente observável: b neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente está trabalhando com espaço de estados, que é uma forma de representar sistemas dinâmicos usando matrizes. No enunciado, temos duas equações que descrevem como o sistema evolui ao longo do tempo e como a saída y(k) está relacionada ao estado do sistema. Precisamos verificar se o sistema é completamente controlável e completamente observável. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as matrizes de controlabilidade e observabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre controlabilidade. Um sistema é controlável se, a partir de qualquer estado inicial, conseguimos mover o sistema para qualquer outro estado em algum instante de tempo, usando as entradas de controle disponíveis.
Para verificar a controlabilidade, usamos a matriz de controlabilidade, que é formada pelas matrizes A e B do sistema. No nosso caso, a matriz A é:
A = a & b c & d
E a matriz B é:
B = 1 1
A matriz de controlabilidade C é construída assim:
C = [B AB]
Vamos calcular AB:
AB = A cdot B = a & b c & d cdot 1 1 = a + b c + d
Então, a matriz de controlabilidade fica:
C = 1 & a + b 1 & c + d
Para que o sistema seja completamente controlável, essa matriz precisa ter posto máximo, ou seja, todas as suas colunas devem ser linearmente independentes. Isso acontece se o determinante de C for diferente de zero.
Calculando o determinante:
det(C) = (1)(c + d) - (1)(a + b) = c + d - a - b = (a + b) neq (c + d)
Então, o sistema é completamente controlável se:
a + b neq c + d

Passo 3

Agora, vamos verificar a observabilidade do sistema. Um sistema é observável se, a partir da saída y(k), podemos determinar todo o estado interno do sistema ao longo do tempo.
Para isso, usamos a matriz de observabilidade, que é formada pelas matrizes A e C, onde C aqui é a matriz de saída:
Csaída = 1 & 0 í
A matriz de observabilidade O é construída assim:
O = Csaída Csaída A íí
Vamos calcular C_{\text{saída}} A:
Csaída A = 1 & 0 cdot a & b c & d = a & b í
Então, a matriz de observabilidade fica:
O = 1 & 0 a & b
Para que o sistema seja completamente observável, essa matriz também precisa ter posto máximo, ou seja, todas as suas linhas devem ser linearmente independentes. Isso acontece se o determinante de O for diferente de zero.
Calculando o determinante:
det(O) = (1)(b) - (0)(a) = b
Então, o sistema é completamente observável se:
b neq 0

Resposta

Completamente controlável: $ a + b \neq c + d $; Completamente observável: $ b \neq 0 $.

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