(Zill e Cullen, 2001) Resolva o problema de valor inicial: \frac{d y}{d t}+2 t y=t, \quad y(0)=-3, Resp:. y=\frac{1}{2}-\frac{7}{2} e^{-t^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de primeira ordem
y' + 2t\,y = t,
com condição inicial y(0) = -3. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calcular o fator integrante
\mu(t) = \exp\!\biggl(\int 2t\,dt\biggr) = \exp(t^2).

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t) obtém-se
\exp(t^2)\,y' + 2t\,\exp(t^2)\,y = t\,\exp(t^2),
ou seja
\frac{d}{dt}\bigl(\exp(t^2)\,y\bigr) = t\,\exp(t^2).

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(\exp(t^2)\,y\bigr)\,dt = \int t\,\exp(t^2)\,dt.
No lado direito, faça a substituição u = t^2, du = 2t\,dt, resultando em
\int t\,\exp(t^2)\,dt = \frac12\,\exp(t^2) + C.

Passo 5

Logo
\exp(t^2)\,y = \frac12\,\exp(t^2) + C \quad\Longrightarrow\quad y = \frac12 + C\,\exp(-t^2).

Passo 6

Aplicar a condição y(0) = -3:
-3 = \frac12 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac72.

Resposta

y = \frac12 - \frac72\,\exp(-t^2).

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