Exercícios Resolvidos de Existência da Transformada de Laplace

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 362-47. MODIFICADO

Mostre que a função do f t = 1 / t 2 não possui transformada de Laplace.

Passo 1

Observando a função f t = 1 / t 2 é perceptível que a função possui uma descontinuidade do tipo assíntota no ponto t = 0 . Desta maneira, não existe transformada de Laplace, já que das condições para tal não são seguidas.

De outra maneira, podemos mostrar que a integral usada para calcular a transformada de Laplace diverge.

L f t = 0 f t e - s t d t = 0 1 t 2 e - s t d t

Vamos separar o intervalo para analisar melhor a parte próxima de t = 0 :

= 0 1 1 t 2 e - s t d t + 1 1 t 2 e - s t d t

Para a integral à esquerda. Se s = 0 :

0 1 1 t 2 e - s t d t = 0 1 1 t 2 d t

Que diverge. Se s < 0 :

0 1 1 t 2 e - s t d t > 0 1 1 t 2 d t

Logo, pela propriedade de comparação de integrais, divergirá. Para s > 0 :

0 1 1 t 2 e - s t d t > e - s 0 1 1 t 2 d t

Que divergirá também. Então essa transformada não existe.

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