Existência da Transformada de Laplace

Teoria Completa

Introducão

Bem, já sabemos o que é a transformada de Laplace e que ela é a transformação de uma função dada por essa integral aqui:

F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Agora será que sempre conseguimos realizar essa integral? Ou seja, a transformada existe sempre?

Na verdade, NÃO! E os motivos são esses dois aqui:

  1. Se a função f t for de uma descontinuidade que você não consiga integrar, por exemplo, não tem como existir essa transformada.
  2. Outra forma de não haver a transformada é se a função f t for muito maior que a exponencial:

f t ≫ e s t

Se isso acontecer, o produto f t e - s t vai ser o suficientemente grande para a integral estourar e ir para o infinito, saca?

Então, estudar a existência da transformada é importante para garantir que nenhuma das duas coisas acima aconteça e você tenha uma transformada bonitinha como deve ser! Vamos nessa então!

Existência da Transformada de Laplace

Bem, vimos dois problemas no qual a transformada não existe, então agora vamos ver as duas condições para garantir a não existência desses problemas. São essas duas condições aqui conhecidas como Condições de Existência da Transformada de Laplace:

  1. A função f t deve ser pelo menos seccionalmente contínua.
  2. A mesma função dever ser de Ordem Exponencial.

Calma, jovem gafanhoto! Vamos explicar o que significa ser cada uma dessas coisas aí separadamente.

Função seccionalmente contínua

É uma função contínua em um intervalo, exceto por um número finito de saltos. Como assim? Ela é contínua em partes e descontínua por pulos, veja a figura:

As suas descontinuidades descontinuidade por saltos e, além disso, são numeráveis, ou seja, você consegue contar quantos pontos de descontinuidade existem. Dessa forma, a função pode ser integrada em subintervalos e você garante a não existência do primeiro problema que vimos na introdução!

Ordem exponencial

Vimos que o segundo problema acontece quando a função f t é muito maior que a exponencial. Então, o temos que fazer é garantir que a função f t não seja maior que a exponencial e sim menor! Quando você garante isso diz que ela é de Ordem Exponencial!

Matematicamente falando, você tem que garantir que isso aqui aconteça:

f t ≤ C e k t

Para algum valor de C e k reais e t no domínio da função f t .

Vamos ver isso com um exemplo para facilitar.

Exemplo: a função cos ⁡ 3 t é de ordem exponencial?

Assim, devemos encontrar constantes C e k tais que:

cos ⁡ 3 t ≤ C e k t

Jovem gafanhoto, a função cosseno é limitada:

cos ⁡ 3 t ≤ 1

E sabemos que a exponencial para t no intervalo [ 0 ,   ∞ ) é sempre maior que 1 (igual a 1 se t = 0 )

1 ≤ e t

Ou seja...

cos ⁡ 3 t ≤ 1 ≤ e t →

cos ⁡ 3 t ≤ e t

Veja então que se tomarmos o C = 1 e k = 1 , por exemplo, já é o suficiente para falarmos que a função cosseno é de ordem exponencial!

Resumo

Que tal resumirmos agora tudo que já foi aprendido só para fixar melhor?

Vimos que a Transformada de Laplace é uma transformação da função f t para F s :

F s = L f t = L f s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Lembrando que qualquer uma das notações aí em cima pode ser usada, mas é mais comum usarmos L .

A transformada é em função de s , por que como os limites da integral são 0 e , a variável t sempre some na substituição desses limites. Então, a expressão que vamos encontrar para Transformada é em função de s , não de t (é muito importante que você se lembre disso!).

Para a transformada de Laplace de uma função f ( t ) existir, temos que:

  1. f t deve ser seccionalmente contínua.
  2. Deve existir constantes reais M , C e k com M   e C necessariamente positivas, tal que f t ≤ C e k t com t ≥ M .

Agora vamos praticar!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 362-47. MODIFICADO

Mostre que a função do f t = 1 / t 2 não possui transformada de Laplace.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Observando a função f t = 1 / t 2 é perceptível que a função possui uma descontinuidade do tipo assíntota no ponto t = 0 . Desta maneira, não existe transformada de Laplace, já que das condições para tal não são seguidas.

De outra maneira, podemos mostrar que a integral usada para calcular a transformada de Laplace diverge.

L f t = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t = ∫ 0 ∞ 1 t 2 e - s t d t

Vamos separar o intervalo para analisar melhor a parte próxima de t = 0 :

… = ∫ 0 1 1 t 2 e - s t d t + ∫ 1 ∞ 1 t 2 e - s t d t

Para a integral à esquerda. Se s = 0 :

∫ 0 1 1 t 2 e - s t d t = ∫ 0 1 1 t 2 d t

Que diverge. Se s < 0 :

∫ 0 1 1 t 2 e - s t d t > ∫ 0 1 1 t 2 d t

Logo, pela propriedade de comparação de integrais, divergirá. Para s > 0 :

∫ 0 1 1 t 2 e - s t d t > e - s ∫ 0 1 1 t 2 d t

Que divergirá também. Então essa transformada não existe.

Resposta

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