Exercícios Resolvidos de Expressão Analítica de uma TL

Lista 1 de Álgebra Linear I para a p2, exercício 9, 2015.1, PUC-RIO.

Encontre uma expressão analítica de uma transformação linear T : R 3 ⟶ R 4 tal que a imagem de T seja gerada pelos vetores ( 1 , 2,0 , - 4 ) e ( 2,0 , - 1 , - 3 ) . A transformação linear encontrada é a única que satisfaz a condição dada no exercício?

Passo 1

Tá, ele quer uma transformação que vá do R 3 para o R 4 e que tenha como imagem o espaço gerado por ( 1 , 2,0 , - 4 ) e ( 2,0 , - 1 , - 3 ) . Para “criarmos uma T L ” precisamos da T L aplicada em uma base do domínio. Mas ele não deu mais nenhuma condição pra gente, então vamos fazer o seguinte:

T 1,0 , 0 = 1,2 , 0 , - 4

T 0,1 , 0 = 2,0 , - 1 , - 3

T 0,0 , 1 = 0,0 , 0 , 0

Agora vamos aplicar a nossa fórmula de bolo:

x , y , z = x 1,0 , 0 + y 0,1 , 0 + z 0,0 , 1

T x , y , z = T x 1,0 , 0 + y 0,1 , 0 + z 0,0 , 1

T x , y , z = x T 1,0 , 0 + y T 0,1 , 0 + z T 0,0 , 1

T x , y , z = x 1,2 , 0 , - 4 + y 2,0 , - 1 , - 3

T x , y , z = x + 2 y , 2 x , - y , - 4 x - 3 y

E pronto, temos uma T L com a imagem que o enunciado pediu.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que montamos uma expressão para T , será que ela é a única possível??

Não!! Fica fácil de ver, se lembrarmos do jeito que construímos a T . Veja que tivemos que chutar uma base para o nosso domínio, porém poderíamos ter escolhido outros vetores para a base, que conseguiriam satisfazer as mesmas condições do exercício! Escolhemos esses pra facilitar nossa vida mesmo!

Passo 3

De fato, poderíamos ter respondido à segunda pergunta com o teorema da unicidade da transformação linear, que diz que é preciso ter uma base, e a imagem de cada um dos vetores da base, para a transformação ser única! Se não tiver as condições do teorema, a transformação não é única.

Resposta

T x , y , z = x + 2 y , 2 x , - y , - 4 x - 3 y

Não.

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