Exercícios Resolvidos de Expressão Analítica de uma TL

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Enunciado

Seja V   um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno < ⋅   |   ⋅ >   , e seja T : V → V  

um operador linear. Considere as seguintes afirmações:

  1. Se o operador T   é simétrico então a matriz T β é simétrica, para qualquer base β de V  
  2. Se existe uma base ortogonal de V   formada pelos autovetores de T   , então o operador T   é simétrico
  3. Se < T v , w >   =   < v , w > ,   para todos v   ,   w   ∈ V   , então o operador T   é simétrico

Quais afirmações são verdadeiras?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez uma questão mais teórica

Nosso objetivo é verificar quais afirmações são verdadeiras. Como de costume, vamos começar pela mais fácil, a afirmação 3)

Passo 2

Queremos verificar se 3) é verdadeira. Isto é:

Se < T v , w >   =   < v , w > ,   para todos v   ,   w   ∈ V     ,então o operador T   é simétrico.

Para podermos verificar essa afirmação, precisamos relembrar a definição de operador simétrico e de uma propriedade do produto interno. Vamos lá!!!

Um operador T   é dito simétrico se

T   =   T t

Isto é, se ele é igual ao seu transposto.

E temos a seguinte propriedade do produto interno:

< T v , w >   =   < v , T t w > ,  

Agora temos tudo que é preciso para verificar se 3) é verdadeira.

Passo 3

Usando as propriedades que revisamos no passo anterior, temos:

< T v , w >   =   < v , T t w > ,  

(mas temos como hipótese que )

< T v , w >   =   < v , w > ,    

(usando o fato que o produto interno é simétrico)

< T v , w >   =   < v , w >   =   < w , v >    

< T w , v >   =   < w , v >   =   < v , w >    

(juntando as equações temos)

< T w , v >   =   < w , T v >    

(Usando a propriedade que revisamos)

< T w , v >   =   < w , T t v >   =   < w , T v >    

⇒   < w , T t v >   =   < w , T v >    

Então T   =   T t

. Logo a afirmação 3) é verdadeira

Passo 4

Agora que verificamos a afirmação 3) vamos verificar a 2). Essa afirmação diz o seguinte:

Se existe uma base ortogonal de V   formada pelos autovetores de T   , então o operador T  

é simétrico.

Primeiro, vamos revisar o que é um operador ortogonal. P   é dito ortogonal se

P - 1   =   P t

Isto é, se sua inversa é sua transposta.

Essa afirmação fala de uma base ortogonal de V   formada com os autovetores de T  

isso lembra alguma coisa? O que vocês acham?

Exatamente diagonalização, temos uma base ortogonal de de autovetores de T   , então T  

é diagonalizável. Bacana né?

Sendo assim, nosso operador T   pode ser escrito como

T   =   P D P - 1 , com D   diagonal.

Então:

T t   =   P D P - 1 t

(usando a associatividade do produto matricial)

=   P D ⋅ P - 1 t

(transposta do produto troca a ordem do produto e transpõe as partes)

=   P - 1 t P D t

(transposta do produto troca a ordem do produto e transpõe as partes)

=   P - 1 t D t P t

(mas como P é ortogonal)

=   P t t D t P - 1

=   P D P - 1

Ou seja, T  

é simétrica

Por fim, só resta verificar a primeira afirmação:

Passo 5

A afirmação 1) diz o seguinte: Se o operador T   é simétrico então a matriz T β é simétrica, para qualquer base de β de V  

Essa é uma afirmação trabalhosa de verificar. Mas ficará tudo claro no nosso contra exemplo!!!

Nosso contra exemplo deve mostrar que uma transformação linear T  

simétrica pode ser expressa de forma não simétrica em alguma base β

Considere a seguinte base β   =   1,1   ,   0,1 e a matriz de transformação T   abaixo

Então, nossa matriz T β

é:

T u β   =   T β ϵ u β

Onde u β é o vetor u   representado na base β . e T u β ϵ é a matriz que leva da base canônica para a base β e suas colunas são:

T e i β

Vamos começar construindo a matriz T u β ϵ .

T e 1 β   =   1,1 β

=   1,0

T e 2 β   =   1,1 β

=   1,0

Então nossa matriz T u β ϵ

é:

Já estamos na metade do contra exemplo, ânimo!!!

Passo 6

No passo anterior calculamos T u β ϵ . Agora só precisamos calcular T u β   =   T β ϵ u β para u   =   e 1   e     e 2

T e 1 β   =   T β ϵ e 1 β

(substituindo e1 pela sua representação na base beta)

=   T β ϵ 1 , - 1 T

(calculando o produto entre matriz vetor)

=   0,0 T

T e 2 β   =   T β ϵ e 2 β

(substituindo e2 pela sua representaçãona base beta)

=   T β ϵ 0,1

=   T β ϵ 0,1 T

(calculando o produto entre matriz vetor )

=   1,0 T

Juntando esses resultados vemos que nossa matriz T u β   abaixo não é simétrica.

Logo a primeira afirmação é falsa!!!

E com isso chegamos ao fim de mais uma questão de algelin. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!! 😊

Resposta

e)