Exercícios Resolvidos de Expressão Analítica de uma TL

Lista 1 de Álgebra Linear I para a p2, exercício 9, 2015.1, PUC-RIO.

Encontre uma expressão analítica de uma transformação linear Equation tal que a imagem de Equation seja gerada pelos vetores Equation e Equation . A transformação linear encontrada é a única que satisfaz a condição dada no exercício?

Passo 1

Tá, ele quer uma transformação que vá do Equation para o Equation e que tenha como imagem o espaço gerado por Equation e Equation . Para “criarmos uma Equation ” precisamos da Equation aplicada em uma base do domínio. Mas ele não deu mais nenhuma condição pra gente, então vamos fazer o seguinte:

Equation

Equation

Equation

Agora vamos aplicar a nossa fórmula de bolo:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

E pronto, temos uma Equation com a imagem que o enunciado pediu.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que montamos uma expressão para Equation , será que ela é a única possível??

Não!! Fica fácil de ver, se lembrarmos do jeito que construímos a Equation . Veja que tivemos que chutar uma base para o nosso domínio, porém poderíamos ter escolhido outros vetores para a base, que conseguiriam satisfazer as mesmas condições do exercício! Escolhemos esses pra facilitar nossa vida mesmo!

Passo 3

De fato, poderíamos ter respondido à segunda pergunta com o teorema da unicidade da transformação linear, que diz que é preciso ter uma base, e a imagem de cada um dos vetores da base, para a transformação ser única! Se não tiver as condições do teorema, a transformação não é única.

Resposta

Equation

Não.

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