Exercícios Resolvidos de Expressão Analítica de uma TL

Ver Teoria

Enunciado

Existe uma única transformação linear T : R 3 ⟶ R 4 satisfazendo simultaneamente:

  • Para todo α ∈ R ,   T 1,0 - 1 = α T ( 1 , 0 , - 1 ) .
  • Os vetores ( 0 , 1,0 ) e ( 0,1 , - 1 ) são transformados por T no mesmo vetor de R 4 .
  • T 0 , 2 3 ,   - 2 3 = 2 3 ,   - 2 3 , 2 3 ,   - 2 3
  • dim ⁡ N u c T = 2

Encontre a expressão de T ( x , y , z ) .

Passo 1

Vamos estudar algumas informações do enunciado. Repare que:

T 1,0 - 1 = α T 1,0 , - 1 ⇒

T α 1,0 , - 1 - 1,0 , - 1 = 0 ⇒

T α - 1 1,0 , - 1 = 0 ⇒

Assim, ou α - 1 1 , 0 , - 1 ∈ N u c T ou α - 1 1,0 , - 1 = 0 . Como ele está dizendo que aquela afirmação serve para TODO α ∈ R , α não vale apenas 1 . E se α não vale somente 1 , chegamos a conclusão que:

α - 1 1,0 , - 1 ∈ N u c T

Isso quer dizer que todos os múltiplos de 1 , 0 , - 1 pertencem ao núcleo, e assim, 1,0 , - 1 ∈ N u c ( T ) . Logo,

T 1,0 , - 1 = 0

Passo 2

Outra informação que podemos tirar do enunciado também, é que:

T 0 , 2 3 ,   - 2 3 = 2 3 ,   - 2 3 , 2 3 ,   - 2 3

Mas como T é linear:

2 3 T 0,1 , - 1 = 2 3 ,   - 2 3 , 2 3 ,   - 2 3 ⇒

T 0,1 , - 1 = 1 , - 1,1 , - 1

Passo 3

Mas o enunciado também nos diz que os vetores ( 0 , 1,0 ) e 0,1 , - 1 são transformados por T no mesmo vetor de R 4 . Então podemos concluir que:

T 0,1 , 0 = 1 , - 1,1 , - 1

Passo 4

Agora finalmente podemos encontrar a expressão de T . Como base para o domínio, vamos utilizar os três vetores que aparecem no enunciado ( 1 , 0 , - 1 ) , 0,1 , 0 e 0,1 , - 1 .

γ = 0,1 , - 1 , 0,1 , 0 , 1,0 , - 1

x , y , z = a 0,1 , - 1 + b 0,1 , 0 + c 1,0 , - 1   I

Como vimos nos passos 1 a 3 :

T 1,0 , - 1 = 0

T 0,1 , - 1 = 1 , - 1,1 , - 1

T 0,1 , 0 = 1 , - 1,1 , - 1

Logo, aplicando T nos dois lados de I :

T x , y , z = a 1 , - 1,1 , - 1 + b 1 , - 1,1 , - 1 + 0   I I

Passo 5

Agora botando a , b em função de x , y , z :

x , y , z = a 0,1 , - 1 + b 0,1 , 0 + c 1,0 , - 1 ⇒

x , y , z = c , a + b , - a - c ⇒

c = x a + b = y ⇒ - x - z + b = y ∴ b = x + y + z - a - c = z ⇒ - a - x = z ⇒ - a = x + z ∴ a = - x - z

Substituindo em I I :

T x , y , z = ( - x - z ) 1 , - 1,1 , - 1 + x + y + z 1 , - 1,1 , - 1 ⇒

T x , y , z = ( y , - y , y , - y )

Resposta

T x , y , z = ( y , - y , y , - y )