Exercícios Resolvidos de Expressão Analítica de uma TL

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Enunciado

Existe uma única transformação linear T : R 3 ⟶ R 4 satisfazendo simultaneamente:

  • Para todo α ∈ R ,   T 1,0 - 1 = α T ( 1 , 0 , - 1 ) .
  • Os vetores ( 0 , 1,0 ) e ( 0,1 , - 1 ) são transformados por T no mesmo vetor de R 4 .
  • T 0 , 2 3 ,   - 2 3 = 2 3 ,   - 2 3 , 2 3 ,   - 2 3
  • dim ⁡ N u c T = 2

( a ) Encontre bases para o núcleo e a imagem de T , respectivamente.

( b ) Encontre a expressão de T ( x , y , z ) .

( c ) Dê um exemplo de um subespaço vetorial S de R 4 tal que dim ⁡ S + I m T = 3 . Justifique sua escolha.

( d ) Mostre que todo plano π ⊆ R 3 tal que dim ⁡ π ∩ N u c T = 1 é transformado por T em uma reta de R 4 .

Passo 1

Letra ( a )

Vamos estudar algumas informações do enunciado. Repare que:

T 1,0 - 1 = α T 1,0 , - 1 ⇒

T α 1,0 , - 1 - 1,0 , - 1 = 0 ⇒

T α - 1 1,0 , - 1 = 0 ⇒

Assim, ou α - 1 1,0 , - 1 ∈ N u c T ou α - 1 1,0 , - 1 = 0 . Como ele está dizendo que aquela afirmação serve para TODO α ∈ R , α não vale apenas 1 . E se α - 1 1,0 , - 1 = 0 temos que α - 1 = 0 ∴ α = 1 , o que é mentira pois no enunciado temos que α não vale somente 1 . Portanto a conclusão que chegamos é:

α - 1 1,0 , - 1 ∈ N u c T

Isso quer dizer que todos os múltiplos de 1,0 , - 1 pertencem ao núcleo, e assim, 1,0 , - 1 ∈ N u c ( T ) . Mas sabemos também que o núcleo tem dimensão 2 , então precisamos saber seu outro gerador, pois já sabemos que 1,0 , - 1 é um dos seus geradores.

N u c T = s p a n { 1,0 , - 1 , v 1 }

Passo 2

Outra informação que podemos tirar do enunciado também, é que:

T 0 , 2 3 ,   - 2 3 = 2 3 ,   - 2 3 , 2 3 ,   - 2 3

Mas como T é linear:

2 3 T 0,1 , - 1 = 2 3 ,   - 2 3 , 2 3 ,   - 2 3 ⇒

T 0,1 , - 1 = 1 , - 1,1 , - 1

Passo 3

Mas também o enunciado nos diz que os vetores ( 0 , 1,0 ) e ( 0,1 , - 1 ) são transformados por T no mesmo vetor de R 4 . Então podemos concluir que:

T 0,1 , 0 = 1 , - 1,1 , - 1

Assim fazendo a seguinte conta:

T 0,1 , - 1 - T 0,1 , 0 = 1 , - 1,1 , - 1 - 1 , - 1,1 , - 1 ⇒

T 0,0 , - 1 = 0

Lembre-se sempre que nossa transformação é linear!

Pera, então o que temos ai em cima é que a imagem do vetor 0,0 , - 1 dá zero! Então este vetor pertence ao núcleo. Então já descobrimos nossos geradores para o núcleo, pois achamos 2 vetores L I que pertencem à ele.

Logo, uma possível base β para o núcleo é:

β = { 0,0 , - 1 , 1,0 , - 1 }

Passo 4

Ainda não acabou, temos que achar um base para a imagem também! Um jeito de achar a imagem é aplicando T em cada um dos vetores da sua base do domínio, e assim se as imagens dele forem L I , eles formam a base da sua imagem.

Assim, vamos definir uma base para o nosso domínio, um tanto conveniente para nós.

Seja γ uma base para o domínio de T . Então,

γ = { 0,1 , - 1 , 0,1 , 0 , 1,0 , - 1 }

Como sabemos que:

T 0,1 , - 1 = 1 , - 1,1 , - 1

T 0,1 , 0 = 1 , - 1,1 , - 1

T 0,0 , - 1 = 0

Assim, como as imagens dos vetores 0,1 , - 1 , 0,1 , 0 são iguais, e a do terceiro vetor deu zero, uma possível base α para nossa imagem é:

α = { 1 , - 1,1 , - 1 }

Passo 5

Letra ( b )

Para encontrar a expressão da sua T , temos que definir uma base para o domínio antes. Vamos utilizar aquela do item anterior.

γ = { 0,1 , - 1 , 0,1 , 0 , 1,0 , - 1 }

x , y , z = a 0,1 , - 1 + b 0,1 , 0 + c 1,0 , - 1 ⇒

T x , y , z = a 1 , - 1,1 , - 1 + b 1 , - 1,1 , - 1 + 0

Passo 6

Agora botando a , b em função de x , y , z :

x , y , z = c , a + b , - a - c ⇒

c = x a + b = y ⇒ - x - z + b = y ∴ b = x + y + z - a - c = z ⇒ - a - x = z ⇒ - a = x + z ∴ a = - x - z

Substituindo:

T x , y , z = ( - x - z ) ( 1 , - 1,1 , - 1 + x + y + z 1 , - 1,1 , - 1 ⇒

T x , y , z = ( y , - y , y , - y )

Passo 7

Letra ( c )

Como a imagem tem dimensão 1 , UM POSSÍVEL jeito de formar um espaço S tal que dim ⁡ S + I m T = 3 , é com S sendo gerado por 2 vetores v 1 , v 2   L I que satisfaçam o conjunto { v 1 , v 2 , 1 , - 1,1 , - 1 } L I . Assim, um possível espaço pra S é:

S = s p a n { 1,0 , 0,0 , 0,1 , 0,0 }

Vale ressaltar que tem outros jeitos de achar um espaço pra S .

Passo 8

Letra ( d )

O enunciado estabelece uma condição para o plano π , que é dim ⁡ π ∩ N u c T = 1 . Assim, sabemos que o plano π deve ser formado por 2 vetores, já que é um plano, de modo que um deles pertença ao núcleo e o outro não pertença ao núcleo. Dessa forma, sabemos que a condição do enunciado será satisfeita.

E como a T L já pega todos os vetores do R 3 e os transformam numa reta no R 4 , basta então que o plano não tenha um vetor do núcleo o gerando.

π = s p a n { u 1 , u 2 }

Passo 9

Assim:

T π = s p a n { T u 1 , T u 2 }

Seja u 1 ∈ N u c T ,   u 2 ∉ N u c ( T ) . Então T u 1 = 0 ,   T u 2 ≠ 0 , e assim temos que:

T π = s p a n { T u 2 }

E assim, provamos que todo plano π é transformado em uma reta no R 4 .

Resposta

( a ) Base para o núcleo: β = { 0,0 , - 1 , 1,0 , - 1 } ; Base para a imagem: α = { 1 , - 1,1 , - 1 } .

( b ) T x , y , z = ( y , - y , y , - y )