Exercícios Resolvidos de Expressão Analítica de uma TL

Lista 3 de Monitoria Álgebra Linear I para a p2, exercício 1-b), 2015.1, PUC-RIO.

Sabendo que

T 1,0 , 0 = - 2,0 , 0

T 1,1 , 0 = 3,3 , 0

T 0,1 , 1 = ( 0 , - 1 , - 1 )

Calcule T ( x , y , z ) .

Passo 1

Bom, a primeira coisa a se fazer é verificar se o conjunto dos vetores { 1 , 0,0 , 1,1 , 0 , 0,1 , 1 } é L I .

Podemos ver isso pelo lugar onde os zeros se encontram, e com isso fica fácil de perceber que nenhum dos vetores ou C L de dois vetores consegue gerar o terceiro.

Tá, mas vamos ao que interessa: começar a montar a nossa T !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer uma C L de um vetor genérico com a base β = 1 , 0,0 , 1,1 , 0 , 0,1 , 1 do R 3 .

x , y , z = a 1,0 , 0 + b 1,1 , 0 + c ( 0,1 , 1 )

Aplicando T dos dois lados:

T x , y , z = T ( a 1,0 , 0 + b 1,1 , 0 + c 0,1 , 1 )

Devido à T ser linear, podemos reescrever a equação como:

T x , y , z = a T 1,0 , 0 + b T 1,1 , 0 + c T 0,1 , 1       ( I )

Passo 3

Agora vamos aplicar as informações do nosso enunciado!

T 1,0 , 0 = - 2,0 , 0

T 1,1 , 0 = 3,3 , 0

T 0,1 , 1 = ( 0 , - 1 , - 1 )

Substituindo em I :

T x , y , z = a - 2,0 , 0 + b 3,3 , 0 + c 0 , - 1 , - 1     ( I I )

Passo 4

Ainda falta achar quem são a , b , c em função de x , y , z .

x , y , z = a 1,0 , 0 + b 1,1 , 0 + c ( 0,1 , 1 )

x , y , z = ( a + b , b + c , c )

x = a + b a = x - y + z y = b + c b = y - z c = z

Passo 5

Agora que achamos os valores que queríamos para a , b , c , vamos substituir na nossa equação ( I I ) :

T x , y , z = x - y + z - 2,0 , 0 + y - z 3,3 , 0 + z 0 , - 1 , - 1

T x , y , z = - 2 x + 2 y - 2 z , 0,0 ) + ( 3 y - 3 z , 3 y - 3 z , 0 ) + ( 0 , - z , - z

T x , y , z = - 2 x + 2 y - 2 z + 3 y - 3 z , 3 y - 3 z - z , - z

T x , y , z = ( - 2 x + 5 y - 5 z , 3 y - 4 z , - z )

Resposta

T x , y , z = ( - 2 x + 5 y - 5 z , 3 y - 4 z , - z )

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