Taxa, Fluxo e Força Motriz

Teoria Completa

Fala ai, galerinha, tudo bem? Aqui vamos começar a ver conteúdo de Transferência de Massa! Pra isso, a gente vai ter que relembrar alguns conceitos super importantes que vamos usar muito daqui pra frente, tranquilo? Bora lá então!

Lembra quando vimos na escola que se a gente comesse muito sal as nossas células desidratavam (colocavam água pra fora) pra equilibrar essa concentração de sal no sangue e ai a gente sentia sede? Então, o que acontece nesse caso é uma transferência de massa em que a cada pedacinho da nossa célula envia um fluxo de água (e essa água tem massa rsrs) e a força motriz que fez isso tudo acontecer foi essa diferença de concentração de sal dentro e fora da célula.

A transferência de massa sempre vai acontecer enquanto eu tiver um gradiente de concentração, e o quanto de massa está sendo transferido pode ser quantificado através de um fluxo ou uma taxa. Além disso, outra coisa que vai ser importante pra gente vai ser a velocidade com que essas moléculas estão indo de um lugar pro outro. Vem comigo que você vai entender melhor esses termos!!

Taxa

Quando falamos de taxa, a gente já pensa logo nos juros que estão cobrando a gente no banco. Pois é, e quanto mais o tempo passa maior ficam os juros, não é mesmo? Então, a taxa, por definição, é o quando uma propriedade está mudando ao longo do tempo.

Em transferência de calor, a unidade que a gente usava pra taxa era Watts, que é a mesma coisa de Joule por segundo. E a gente já sabe que Joule é unidade pra energia. Aqui em transferência de massa, adivinha adivinha, a gente vai usar uma unidade de massa por uma unidade de tempo, no SI (sistema internacional) a gente usa k g / s , pra representar a nossa taxa mássica. Maaaas, a gente também vai ver que é comum usar uma taxa volumética, ai nesse caso fica qualquer unidade de volume por unidade de tempo. As mais comuns são m ³ / s ou L / s . Tranquilo?

Bom, e como nossos problemas nem sempre tem uma geometria definida (como no caso da nossa célula, a gente generaliza dessa forma:

Q =   ∫ S v ^ · n ^   d S

Onde Q é a nossa taxa molumética, v é a velocidade das moléculas e n ^ é o vetor normal ao deslocamento.

Pra taxa mássica temos:

m ˙ =   ∫ S ρ ( v ^ · n ^ )   d S

Onde ρ é a concentração da substância que está sendo transportada.

Relaxa que isso é mais pra gente entender o que vem daqui pra frente do que pra usar mesmo!

Fluxo

Quando falamos de fluxo, já estamos avaliando mais preciosamente o quanto é transportado de massa em um determinado ponto dentro dessa superfície de transferência. Por isso, a unidade de fluxo de massa no SI é k g m 2 . s . E dentro da generalização que a gente fez antes, podemos relacionar taxa e fluxo pela seguinte igualdade:

Q = ∫ S q . n ^   d S

Onde q é o nosso fluxo. Repara que como ele pode ser diferente em cada ponto da superfície, ele é uma grandeza vetorial, diferente da taxa, que é um escalar. Guarda isso no seu coração, beleza?

Força Motriz

Como a gente já viu antes, a força motriz que faz acontecer um transporte de massa é uma diferença de concentração. E existem várias formas de expressar essa concentração além de massa por volume. Quando falamos de misturas muitas vezes é interessante usar fração mássica, que é a razão entre a massa de uma determinada substância e a massa total do sistema. Da mesma forma, além de concentração e fração mássica, também podemos usar concentração e fração molar. São muitas possibilidades! Por isso, a gente tem uma tabelinha aqui pra você explorar todas elas, que aí, dependendo dos dados que você tiver no problema, você pode usar uma ou outra :D

Repara que aqui a gente costuma usar pra representar concentração mássica, mas é só pra diferenciar da concentração molar, já que as unidades são as mesmas densidade. Tem que ficar ligado nisso pra não confundir, beleza?

Daí dessa tabelinha de cima, a gente pode tirar várias correlações, mas aqui tem selecionadas algumas das mais importantes:

E só pra você não ficar perdido no o que é o que:

Ah, e antes que eu me esqueça, é muito comum a gente representar fração molar de gases como y i (ao invés de x i que é mais pra líquidos). Além disso, a fração molar de gases também pode ser dada como a sua pressão parcial p i , que é a razão da pressão desse gás pela pressão total do sistema.

y i = P i P

Beleza, tamo quase lá!

Velocidades

Como eu falei lá em cima, a velocidade também vai ser um conceito importante pra gente. Imagina que você está entrando no metrô com uma certa velocidade, quando você entra, mesmo que você queira continuar andando rápido, é muito difícil, porque a sua velocidade acaba dependendo da velocidade das outras pessoas que estão ali dentro. Quanto maior o tamanho da molécula, mais fácil é de ela arrastar as outras e seguir o seu caminho, então quando falamos de velocidade a massa da partícula também importa. E é mais ou menos por aí que surge o conceito de velocidade média mássica (ou molar). E ela é definida como a soma das velocidade individuais de cada componente vezes a sua concentração, sobre a concentração total da mistura.

Ufa, acabou! Agora bora exercitar isso ai pra essas relações entrarem no sangue!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Welty, J. R., Wicks, C. E., Wilson, R. E., Rorrer, G. L. (2008), Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer, 5th edition, John Wiley & Sons, New Jersey, ex1, chapter 24 pp. 401

A composição do ar muita vezes é dada em termos das duas principais espécies na mistura de ar:

Oxigênio, O 2 , y O 2 = 0.21

Nitrogênio, N 2 , y N 2 = 0.79

Determine a fração mássica dos dois, oxigênio e nitrogênio, e o peso molecular do ar quando ele é mantido a 25 ˚ C ( 298   K ) e 1 atm ( 1.013   x   10 5   P a ). O peso molecular do oxigênio é 32 g ̸ mol e do nitrogênio é 28 g ̸ mol.

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Passo 1

Beleza então, a primeira coisa que o problema pede é a fração mássica dos dois gases, sendo que o enunciado te dá a fração molar. O que a gente vai ter que fazer pra descobrir isso é usar o peso molecular dos dois gases pra converter uma coisa na outra, ok?

Agora, pra descobrir o peso molecular do ar à 25 ˚ C , a gente vai fazer então a média ponderada dos dois elementos na mistura com as suas devidas proporções, tranquilo? Bora lá então.

Passo 2

Vamo então calcular primeiro as frações mássicas, pra isso a gente vai considerar uma base de cálculo de 1 mol pra medir a massa de cada um presente e depois calcular as frações.

O 2 = 1   m o l   x   0.21 = 0.21   m o l

                  = 0.21   m o l   x   32   g m o l = 6.72   g

N 2 = 1   m o l   x   0.79 = 0.79   m o l

                  = 0.79   m o l   x   28   g m o l = 22.1   g

M a s s a   t o t a l   e m   1   m o l = 6.72   g + 22.1   g = 28.8   g

Passo 3

Bom, agora que a gente já sabe qual é a massa de cada espécie na mistura, e a massa total da mistura, a gente só precisa calcular a razão entre elas!

w O 2 = m O 2 m t o t = 6.72   g 28.8   g = 0.23

w N 2 = m N 2 m t o t =   22.1   g 28.8   g = 0.77

Passo 4

Show, com isso a gente já pode calcular então o peso molecular do ar! Como estamos falando de massa, vamos usar as frações mássicas!

M M A r = w O 2 M M O 2 + w N 2 M M N 2

M M A r = 0.23   x   32   g m o l + 0.77   x   28   g m o l = 28.9   g / m o l   d e   A r

Resposta

w O 2 = 0.23

w N 2 = 0.77

M M A r = 28.9   g / m o l   d e   A r

Exercício Resolvido #2

Welty, J. R., Wicks, C. E., Wilson, R. E., Rorrer, G. L. (2008), Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer, 5th edition, John Wiley & Sons, New Jersey, 24.2 , chapter 24 pp. 401

Na fabricação de aparelhos microeletrônicos, um filme fino de Sílica sólida ( S i ) é uniformemente depositada numa superfície pela decomposição química do Silano ( S i H 4 ) na presença de H 2 gasoso. Se a composição do gás é mantida a 40% mol S i H 4 e 60% mol H 2 , determine:

  1. A fração mássica das espécies;
  2. O peso molecular médio da mistura de gás;
  3. A concentração molar, C A , do S i H 4 se o gás de alimentação é mantido a 900 K e 60 torr.
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Passo 1

Pra ajudar nossos cálculos, vamos fazer uma tabelinha com:

  • a fração molar (que foi dada no problema)
  • a massa molecular de cada componente
  • o peso de cada um para uma base de cálculo de 1 mol ( m i = y i . M M i )

A massa total a gente acha somando a massa de todos os componentes ( m t o t =   ∑ m i ), show?

À partir dai vai ser muito mais tranquilo responder às perguntas do problema, e os dados vão ficar todos organizadinhos :D

Somando as massas de todos os componentes a gente chega que m t o t = 14.04   g .

Pronto, agora a gente já tá preparado pra resolver a questão!

Passo 2

  1. A fração mássica das espécies:
  2. A fração mássica w i é dada pela expressão w i = m i m t o t a l .

    Com isso e os dados da tabela podemos calcular a fração mássica de cada um!

    w S i H 4 =   12.84   g 14.04   g = 0.9145

    H 2 =   1.2   g 14.04   g = 0.0855

    Passo 3

  3. O peso molecular médio da mistura de gás:
  4. Isso a gente já calculou ali em cima :D

    O peso molecular médio é a soma das massas por 1 mol de cada componente, é a nossa massa total!

    m t o t = M M g á s =   ∑ m i

    M M g á s = 14.04   g

    Passo 4

  5. A concentração molar, C A , do S i H 4 se o gás de alimentação é mantido a 900 K e 60 torr:

Pra achar essa concentração vamos usar a famosa equação dos gases P V = n R T , mas a gente vai dar uma mexida nela. Como já sabemos que concentração é a razão entre número de mols por volume C =   n V , a nossa equação dos gases vai ficar com essa cara aqui:

C =   P R . T

Só que esse C é pra todo o gás de alimentação. Pra acharmos C A temos que usar a relação C A = y A C , beleza? Bom, uma coisa de cada vez, vamos achar a concentração primeiro, porque a fração molar do Silano a gente já tem!

Só tem mais uma coisa que a gente tem que se ligar aqui, que são as unidades! A pressão que o problema deu está em Torr, e não é o vingador não hahaha, vamos ter que passar pra Pascal!

P P a = 7.99   x   10 3 P a

C = 7.99   x   10 ³ 8.314 ( 900 ) = 1.068   m o l / m ³

Finalmente achando C A :

C A = 0.4   x   1.068 = 0.427   m o l / m ³

Resposta

  1. w S i H 4 =   0.9145
  2.   w H 2 =   0.0855

  3. M M g á s = 14.04   g
  4. C A = 0.427   m o l / m ³

Exercício Resolvido #3

Welty, J. R., Wicks, C. E., Wilson, R. E., Rorrer, G. L. (2008), Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer, 5th edition, John Wiley & Sons, New Jersey, 24.1 , chapter 24 pp. 401

Gás natural liquefeito, GNL, vai ser enviado pela Alaskan Kenai Peninsula por transporte marítimo até a planta de processamento em Yaquina Bay, em Oregon. A composição molar do GNL comercial é:

Determine:

a) A fração mássica do etano;

b) O peso molecular médio do GNL;

c) A densidade da mistura de gás quando aquecida a 207   K e 1.2   x   10 5   P a ;

d) A pressão parcial do metano quando a pressão total é 1.4   x   10 5   P a ;

e) A fração mássica do dióxido de carbono em ppm por peso.

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Passo 1

Pra ajudar nossos cálculos, vamos fazer uma tabelinha com:

  • a fração molar (que foi dada no problema)
  • a massa molecular de cada componente
  • o peso de cada um para uma base de cálculo de 1 mol ( m i = y i . M M i )
  • a fração mássica também de cada componente ( w i = m i m t o t a l ) .

A massa total a gente acha somando a massa de todos os componentes ( m t o t =   ∑ m i ), show?

À partir dai vai ser muito mais tranquilo responder às perguntas do problema, e os dados vão ficar todos organizadinhos :D

Somando as massas de todos os componentes a gente chega que m t o t = M M G N L = 17.176   g .

Uma dica: pra conferir se tá tudo certinho, uma boa é somar as frações mássicas ( w i ) e ver conferir se dá 1!

Pronto, agora a gente já tá preparado pra resolver a questão!

Passo 2

  1. A fração mássica do etano:
  2. Como já calculamos ali em cima, w C 2 H 4 = 0.080

    Passo 3

  3. O peso molecular médio do GNL:
  4. Isso a gente também já calculou ali em cima :D

    M M G N L = 17.176   g

    Passo 4

  5. A densidade da mistura de gás à 207   K e 1.2   x   10 5   P a :
  6. Pra achar essa densidade vamo usar a famosa equação dos gases P V = n R T , mas a gente vai dar uma mexida nela. Vamos abrir esse n , que é o número de mols, como a massa divida pela massa molar n = m M M . E como já sabemos que a densidade é a razão entre a massa e volume ρ =   m V , a nossa equação dos gases vai ficar com essa cara aqui:

    ρ =   P . M M R . T

    E todas essas informações a gente já tem! Como estamos trabalhando no SI (Sistema Internacional de Unidades), nossa constante dos gases vai ser R = 8.314   J / m o l . K

    Fazendo então nossas continhas, vamos finalmente encontrar a densidade.

    ρ G N L = 1.4 x 10 5 ( 17.176 ) 8.314 ( 207 ) = 1.397   k g / m ³

    Passo 5

  7. A pressão parcial do metano quando a pressão total é 1.4   x   10 5   P a :
  8. Pela lei de Dalton, lá da termodinâmica a gente tem que p i = y i P , onde P é a pressão total do sistema. Daí com isso, podemos fazer então nosso cálculo:

    p C H 4 = y C H 4 P = 0.935 1.4 x 10 5 = 131   k P a

    Passo 6

  9. A fração mássica do dióxido de carbono em ppm por peso

A gente já calculou lá em cima a fração mássica do C O 2 e como fração mássica não tem unidade, não faz diferença se ela está em ppm por peso, ou se você fez em grama por grama. UHUL menos uma conta

A fração mássica do C O 2 fica então w C O 2 = 0.018 .

Resposta

  1. w C 2 H 4 = 0.080
  2. M M G N L = 17.176   g
  3. ρ G N L = 1.397   k g / m ³
  4. p C H 4 = 131   k P a
  5. w C O 2 = 0.018

Exercício Resolvido #4

Welty, J. R., Wicks, C. E., Wilson, R. E., Rorrer, G. L. (2008), Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer, 5th edition, John Wiley & Sons, New Jersey, 24.3 , chapter 24 pp. 430

Ar é armazenado em um container de 30   m ³ à 400 K e 1.013   x   10 5   P a . Determine as seguintes propriedade do gás de mistura:

a) A fração molar do O 2 ;

b) A fração volumétrica do O 2 ;

c) O peso molar da mistura;

d) A densidade do O 2 ;

e) A densidade do N 2 ;

f) A densidade mássica do ar.

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Passo 1

Pra ajudar nossos cálculos, vamos fazer uma tabelinha com:

  • a fração molar do ar
  • a massa molecular de cada componente
  • o peso de cada um para uma base de cálculo de 1 mol ( m i = y i . M M i )

A massa total a gente acha somando a massa de todos os componentes ( m t o t =   ∑ m i ), show?

À partir dai vai ser muito mais tranquilo responder às perguntas do problema, e os dados vão ficar todos organizadinhos :D

Somando as massas de todos os componentes a gente chega que m t o t = 28.84   g .

Pronto, agora a gente já tá preparado pra resolver a questão!

Passo 2

  1. A fração molar do O 2 :
  2. Aqui a gente tá usando aquela proporção clássica do ar que é:

    y O 2 = 0.21

    y N 2 = 0.79

    Passo 3

  3. A fração volumétrica do O 2 :
  4. Como o volume molar de gases ideais é uma constante (22,4 L), a gente pode dizer que a fração volumétrica é igual à fração molar :D

    Logo,

    y O 2 = 0.21

    Passo 4

  5. O peso molar da mistura:
  6. O peso molar da mistura vai ser igual à soma dos pesos de casa componente pra 1 mol de mistura, logo M M m i s t u r a = m t o t =   ∑ m i

    M M m i s t u r a = 28.84   g

    Passo 5

  7. A densidade do O 2 :

Pra achar essa densidade vamos usar a famosa equação dos gases P V = n R T , mas a gente vai dar uma mexida nela. Como já sabemos que a densidade é a razão entre a massa e volume ρ i =   m i V , a gente vai precisar encontrar o volume molar da nossa mistura ( n = 1 ) . Então, a nossa equação dos gases vai ficar com essa cara aqui:

V =   P R . T

E todas essas informações a gente já tem!

Fazendo então nossas continhas, o volume molar fica:

V A r = 1.013   x   10 5 8.314 ( 400 ) = 0.0328   m ³

Como já temos a massa em 1 mol de mistura de cada componente, agora ficou fácil calcular a densidade de cada um! Primeiro pro O 2 :

ρ O 2 =   m O 2 V =   6.72 0.0328 = 204.9   g / m ³

e) A densidade do N 2 :

Agora pro N 2 !

ρ N 2 =   22.12 0.0328 = 674.4   g / m ³

Passo 3

f) A densidade mássica do ar;

Como já sabemos que a densidade é ρ =   m V , a gente vai usar a massa molar da mistura e o volume molar da mistura!

ρ m i s t u r a = 28.84 0.0328 = 879   g / m ³

Resposta

  1. y O 2 = 0.21
  2. y O 2 = 0.21
  3. M M m i s t u r a = 28.84   g
  4. ρ O 2 =   204.9   g / m ³
  5. ρ N 2 =   674.4   g / m ³
  6. ρ m i s t u r a = 879   g / m ³

Exercício Resolvido #5

Hauke, G. (2008), An Introduction to Fluid Mechanics and Transport Phenomena, 1st edition, Springer. Chapter 6, ex 6.2

A seringa da figura contem um fluido de densidade ρ . Qual é a relação entre a velocidade V do pistão e a taxa volumétrica de saída Q ?

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Passo 1

Bom, a taxa volumétrica a gente sabe que é o quanto variou de volume por unidade de tempo. Mas nem sempre a gente tem os dados explícitos pra usar, então a gente pode “quebrar” ela como a velocidade x área, e você vai ver que as unidades vão dar certinho. E assim a gente tem essa expressão:

Q =   ∫ S v ^ · n ^   d S

Passo 2

Como ele pede pra gente calcular a taxa volumétrica de saída já dá vontade de usar aquele d , mas a gente não tem a velocidade com que o fluido sai... Então uma coisa que a gente precisa lembrar nessa hora é que tudo que sai da seringa é exatamente o que o pistão andou, beleza?

Então a nossa vazão vai ficar assim:

Q = V . π D ² 4

Resposta

Q =   V π D ² 4

Exercício Resolvido #6

Hauke, G. (2008), An Introduction to Fluid Mechanics and Transport Phenomena, 1st edition, Springer. Chapter 2, ex 2.9

Na condensação em fime em uma placa vertical em uma atmosfera de vapor, Nussel descobriu que quando o escoamento é laminar, o perfil de velocidade em x é:

v x y = ( ρ l - ρ v ) g δ ² μ y δ - 1 2 y δ 2     0 ≤ y ≤ δ ( x )

Onde ρ l e ρ v são as densidades do fluido nas fases líquido e vapor, respectivamente, e μ a viscosidade do fluido. Encontre o taxa volumétrica por unidade de comprimento em qualquer valor de x .

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Passo 1

Bom, a gente já sabe que a taxa volumétrica é dada pela expressão:

Q =   ∫ S v ^ · n ^   d S

Felizmente ele já deu o perfil de velocidade! Como o problema quer a taxa por unidade de comprimento (já que não sabemos a profundidade da placa), então a gente só precisa integrar em relação à y :D

Passo 2

Substituindo então a expressão da velocidade:

Q L = ∫ 0 δ ( ρ l - ρ v ) g δ ² μ y δ - 1 2 y δ 2 d y  

A primeira parte é toda constante então a gente pode colocar ela pra fora:

Q L = ( ρ l - ρ v ) g δ ² μ ∫ 0 δ y δ - 1 2 y δ 2 d y  

Integrando em relação à y:

Q L = ( ρ l - ρ v ) g δ ² μ y ² 2 δ - y ³ 6 δ ² │ 0 δ

Aplicando os limites de integração:

Q L = ( ρ l - ρ v ) g δ μ   δ ² 3 = ( ρ l - ρ v ) g δ ² 3 μ

Resposta

Q L = ( ρ l - ρ v ) g δ ² 3 μ

Exercício Resolvido #7

Hauke, G. (2008), An Introduction to Fluid Mechanics and Transport Phenomena, 1st edition, Springer, chapter 2, ex 2.8

Calcule a taxa volumétrica e mássica, Q e m ˙ , respectivamente, através da superfície S de largura w mostrada na figura, onde o vetor velocidade faz um ângulo de 60˚ com o eixo x e sua magnitude é dada por v = v 0 ( b 2 - x 2 ) b ² . A densidade do fluido é ρ .

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Passo 1

Bom, a gente já sabe que a taxa volumétrica é dada pela expressão:

Q =   ∫ S v ^ · n ^   d S

Onde esse produto é escalar, logo ele é calculado pela multiplicação do módulo dos vetores vezes o cosseno do ângulo formado entre eles: │ v │ . │ n │ .   c o s θ , beleza?

A gente já tem a expressão da velocidade, falta a gente saber que ângulo usar!O problema disse que a velocidade faz um ângulo de 60˚ com o eixo x, mas o vetor normal da superfície S é paralelo ao eixo y, logo o ângulo que a gente vai usar é 30˚!

Então bora resolver a nossa integral!

Passo 2

Como estamos integrando a área, e ela tem duas dimensões, vamos fazer uma integral dupla variando de 0 a 2 b em x, e de 0 a w em z (que seria o eixo entrando na tela)!

Q = ∫ 0 w ∫ 0 2 b v o ( b 2 - x 2 ) b 2   c o s 30 ˚ d x d z

Lembrando que o vetor normal é unitário, então o módulo dele é 1!

Integrando essa expressão em relação a x temos:

Q = v 0 c o s 30 ˚ ∫ 0 w x - x 3 3 b 2   │ 0 2 b

Aplicando os limites de integração:

Q = v 0 c o s 30 ˚ ∫ 0 w 2 b -   8 b 3 d z

Integrando em relação à z:

Q = v 0 c o s 30 ˚ 2 b w - 8 b w 3

Finalmente:

Q = 2 √ 3 b v 0 w 3

Passo 3

Agora calculando a taxa mássica: m ˙ =   ∫ S ρ ( v ^ · n ^ )   d S

Considerando a densidade constande, ela pode ser reescrita como: m ˙ =   ρ . Q  

Assim:

m ˙ =   2 √ 3 ρ b v 0 w 3

Passo 4

Resposta

Q = 2 √ 3 b v 0 w 3

m ˙ =   2 √ 3 ρ b v 0 w 3

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