Enunciado

Ar a 100 kPa e 25°C escoa em um duto horizontal de seção transversal variável. A coluna d’água do manómetro que mede a diferença entre duas seções tem um deslocamento vertical de 8 cm. Se a velocidade da primeira seção é baixa e o atrito é desprezível, determine a velocidade na segunda seção. Da mesma forma, se a leitura do manómetro tem um erro possível de ± 2 mm, faça uma análise de erro para estimar o intervalo de validade da velocidade encontrada.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, assumimos inicialmente que:

1. O fluxo através do duto é constante, incompressível e irrotacional, com atrito desprezível (de modo que a equação de Bernoulli é aplicável).

2. As perdas nesta seção do duto são insignificantes.

3. A diferença de pressão na coluna de ar é insignificante devido à baixa densidade do ar e, portanto, a coluna de ar no manômetro pode ser ignorada.

E devemos lembrar que:

R a r = 0,287 k P a ⋅ m 3 k g ⋅ K     e     ρ á g u a = 1000 k g m 3

Passo 2

Pronto, agora vamos analisar o problema, ok? Podemos primeiramente imaginar o duto do problema sendo do mesmo formato que do problema 5-83, da forma:

Assim, tomamos os pontos 1 e 2 ao longo da linha central do tubo sobre os dois tubos do manômetro. Observando que z 1 = z 2 (ou, os efeitos de elevação são desprezíveis para gases), e V 1 ≅ 0 , a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 fornece:

P 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = P 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2               → V 2 = 2 P 1 - P 2 ρ a r               ( 1 )

Deixamos que a altura diferencial do manômetro de água seja h. Então a diferença de pressão P 2 - P 1 também pode ser expressa como:

P 1 - P 2 = ρ á g u a g h                 ( 2 )

Assim, combinando as equações 1 e 2, temos:

V 2 = 2 ⋅ ρ á g u a g h ρ a r     ( 3 )

Passo 3

Porém, ainda não sabemos o ρ a r para encontrar a velocidade na segunda seção.

Podemos, portanto, utilizar a equação geral dos gases para encontrar a densidade específica do ar, assim:

ρ a r = P R T = 100   k P a 0,287   k P a ⋅ m 3 k g ⋅ K ⋅ 298   K   = 1,17 k g m 3

Assim, substituindo os valores na equação 3, temos:

V 2 = 2 ⋅ 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 0,08 1,17                       → V 2 = 36,6 m s  

Portanto, a velocidade do ar aumenta de um nível baixo na primeira seção para 36,6 m/s na segunda seção.

Passo 4

Agora, observando a análise de erro: Devemos entender como a altura(leitura) do manómetro se relaciona com a velocidade encontrada.

Se observarmos a Eq. (3), podemos ver que a velocidade é proporcional à raiz quadrada da altura diferencial do fluido do manômetro. Ou seja, V 2 = k h .

Onde:

k = 2 ⋅ ρ á g u a g ρ a r

Assim, tomando o diferencial:

d V 2 = 1 2 k ⋅ d h h

Dividindo-se tudo por V 2 , temos:

d V 2 V 2 = 1 2 k ⋅ d h h ⋅ 1 k h       → d V 2 V 2 = d h 2 h

Por fim, a razão d V 2 V 2 nos informa o erro para estimar o intervalo de validade da velocidade encontrada. Então:

d V 2 V 2 = ±   2 m m 2 ⋅ 80   m m         → d V 2 V 2 = ± 0,013

Portanto, a incerteza na velocidade correspondente a uma incerteza de 2 mm na altura diferencial da água é 1,3%, o que corresponde a:

0,013 ⋅ 36,6 m s = 0,5 m / s    

Então a velocidade de descarga pode ser expressa como:

V 2 = 36,6 ± 0,5 m s

Resposta

Portanto: V 2 = 36,6 ± 0,5 m s

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