Enunciado

13. Escreva as três componentes da equação de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas em termos da pressão modificada. Insira a definição de pressão modificada e mostre que as componentes x, y e z são idênticas àquelas em termos de pressão regular. Qual é a vantagem do uso da pressão modificada?

Passo 1

Da definição de pressão modificada, que pode ser mostrada como a soma da pressão termodinâmica P, e da pressão hidrostática gh, como apresentada na equação seguinte:

P ' = P + ρ g h

Em termos de P ', como componentes da equação de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas são escritas conforme as equações, a seguir:

ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = - ∂ P ' ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

Componente x: ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = - ∂ P ' ∂ x + μ ∇ 2 u

Componente y: ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z = - ∂ P ' ∂ y + μ ∇ 2 v

Componente z: ρ ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z = - ∂ P ' ∂ z + μ ∇ 2 w

Substituindo a equação da pressão modificada nas equações mostrada acima, temos que o termo de gravidade desapareceu nos componentes x e y. e permanecer em z, uma vez que é independente de x e y.

Então, o resultado dos três componentes da equação de Navier-Stokes torna-se:

Componente x:

ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = - ∂ P ' ∂ x + μ ∇ 2 u

Componente y:

∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z = - ∂ P ' ∂ y + μ ∇ 2 v

Componente z:

ρ ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z = - ∂ P ' ∂ z - ρ g + μ ∇ 2 w

Podemos observar como os componentes x, y, e z, mostrada nas equações obtidas, são equações de Navier-Stokes em função de pressão regular, com uma gravidade agindo na direção z.

Passo 2

A vantagem da utilização da pressão modificada é o termo da gravidade que desaparece da equação de Navier-Stokes, apresentando o seu manejo mais simplificado.

Resposta

Resposta em texto.

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