Enunciado

15. No exemplo 9-18 resolvemos a equação de Navier-Stokes para escoamento laminar permanente, completamente desenvolvido em um tubo redondo (escoamento de Poiseuille), desprezando a influencia da gravidade. Agora, acrescente novamente o efeito da gravidade resolvendo novamente esse mesmo problema, mas use a pressão modificada P ' em lugar da pressão real P . Especificamente, calcule o campo real de pressão e o campo de velocidade. Suponha que o tubo é horizontal e que o plano de referência z = 0 esteja a alguma distância arbitrária abaixo do tubo. A pressão real no topo do tubo é maior, igual, ou menor do que aquela na base do tubo? Discuta.

Passo 1

O Calculo do campo de velocidade real pode ser obtido procedendo-se da seguinte forma beleza?

A equação de Navier stokes para um fluxo laminar totalmente desenvolvido e em um tubo redondo sem gravidade considerada é semelhante à equação de Navier stokes para um fluxo laminar totalmente desenvolvido em um tubo redondo com gravidade considerada. Como não há superfície livre no fluxo e, portanto, o termo gravidade não mostra nenhum efeito no campo de velocidade. Esse é todo o conteúdo derivado no exemplo 9-18 permanecerá o mesmo, exceto que a pressão real P que é substituída pela pressão modificada  P ' .

Portanto, o campo de velocidade real permanece o mesmo que foi resolvido no exemplo 9-18 da equação (9).

u = 1 4 μ × d P ' d x r 2 - R 2

Aqui, u é a velocidade real do campo e R é o raio da haste cilíndrica infinita.

Portanto, o campo de velocidade real  u é  1 4 μ × d P ' d x r 2 - R 2 .

Passo 2

Para se obter o campo de pressão modificado fazemos o seguinte:

A pressão real varia com  x  , e a partir de um ponto começa a diminuir linearmente com  x , como no exemplo 9-18, neste caso de pressão modificada  P ' também é variável  linearmente e diminui linearmente com   x   .

P ' = P ' ( x )

Escrevendo a pressão modificada no local onde  x  se torna  x 1 ,

P ' = P 1 ' + d P ' d x × d x

Aqui  P 1 '   está a pressão modificada no local em que x se torna  x 1 ,

Portanto, o campo de pressão modificado  P '   é  P 1 ' + d P ' d x × d x .

Obtemos então, o campo de pressão real da seguinte maneira:

Antes de mais nada, devemos escrever a expressão para o campo de pressão hidrostática,

P h = ρ g h

Aquela equaçãozinha clássica de Mec Fluidos!!

Para obter o valor da cabeça de pressão real, subtraia a equação da pressão modificada da equação da pressão hidrostática.

P = P ' - P h

P = P 1 ' + d P ' d x × d x - ρ g h

Portanto, a pressão real da cabeça P é  P 1 ' + d P ' d x × d x - ρ g h .

Um esboço do tubo em questão utilizado no problema pode ser mostrado como:

Passo 3

O tubo é um tubo horizontal longo e redondo, com a parte superior do tubo mais alta que a parte inferior do tubo,

z t o p o > z f u n d o

A partir da equação da pressão hidrostática, é claro que a pressão e as cabeças de referência são inversamente proporcionais entre si,

P t o p o < P f u n d o

Portanto, a pressão aumenta de cima para baixo à medida que flui para baixo.

Portanto, a pressão real no topo  P t o p o   é menor que a pressão no fundo P f u n d o .

Resposta

u = 1 4 μ × d P ' d x r 2 - R 2

P = P 1 ' + d P ' d x × d x - ρ g h

P t o p o < P f u n d o

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