Enunciado

21 – Um recipiente esférico de plástico de diâmetro de 200 mm e espessura de parede de 1 mm contém um gás a uma pressão de 5 bar. O recipiente é colocado no ar ambiente de pressão 1 bar e temperatura 20°C. Determine a taxa inicial na qual a pressão no recipiente muda se o gás é nitrogênio puro. Determine a taxa temporal da variação de pressão se o gás é oxigênio puro. Admita que o ar é composto exclusivamente de O2 e N2, com suas pressões parciais na razão de 0,21: 0,79.

Passo 1

Para determinarmos a variação de pressão com o tempo, vamos começar aplicando um balanço de massa na superfície do recipiente esférico.

O balanço de massa na superfície do recipiente será dado pela vazão mássica do gás que sai do recipiente para o meio externo que será igual a taxa de transferência de massa por difusão pela espessura do recipiente:

m ˙ A = n A , r

A vazão mássica de do gás A, pode ser escrita da seguinte forma:

m ˙ A = d m A d t

Assim,

d m A d t = n A , r         E q 1

Onde a massa de A é dada por:

m A = ρ A V

Onde, V é o volume da esfera, que é dado por:

V = π 6 D 3

Passo 2

A massa especifica de A, ρA, pode ser expressa em termos da pressão do gás A, PA, através da equação dos gases ideais,

P A V A = n A R T

Sendo

n A = m A M M A

E o volume do gás é:

V A = m A ρ A

Substituindo

P A m A ρ A = m A M M A R T

Isolando o termo da massa especifica, ρA:

ρ A = P A M M A R T

Passo 3

Com as equações do volume da esfera e da massa especifica do gás A, podemos escrever a massa do gás como:

m A = ρ A V

m A = P A M M A R T π 6 D 3

Substituindo essa relação na Eq.1:

d m A d t = n A , r

d P A d t M M A R T π 6 D 3 = n A , r

Isolando a taxa de variação da pressão, dPA/dt:

d P A d t = 6 π R T M M A D 3 n A , r         E q 2

Passo 4

Vamos agora determinar a taxa mássica de transferência de massa do gás A difundindo pela parede do recipiente.

A taxa de transferência de massa pode ser calculada pela seguinte expressão, em função da resistência molar:

N A , r = C A 0 - C A L R m , d i f

Onde, NA,r é a taxa molar de transferência de massa que se relaciona com a taxa mássica pela seguinte forma

n A , r = M M A N A , r

Assim,

n A , r = M M A C A 0 - C A L R m , d i f

Passo 5

Para encontrarmos a resistência mássica, podemos pegar na Tabela 14.1 do Incropera a expressão para uma esfera. Pegando na tabela temos que a taxa mássica para uma esfera é:

R m , d i f = 1 4 π D A B 1 r i - 1 r e

Assim,

n A , r = M M A C A 0 - C A L 1 4 π D A B 1 r i - 1 r e         E q 3

Onde, ri e re são o raio interno e o raio externo do recipiente, respectivamente

r i = D 2

r e = D 2 + δ

Onde, D é o diâmetro e δ é a espessura.

Passo 6

Vamos agora determinar as concentrações:

A concentração molar inicial, CA0, pode ser determinada pela eq. dos gases ideais

C A 0 = P A 0 R T

Já a concentração na superfície externa do recipiente, CAL, podemos determinar, também pela equação dos gases ideais, mas agora usando a pressão parcial do gás A no ar atmosférico:

C A L = p A R T

A pressão atmosférica será

p A = x A P

Sendo xA a fração molar do gás A no ar atmosférico e P é a pressão atmosférica de 1 bar.

Substituindo as relações na Eq3:

n A , r = M M A P A 0 R T - x A P R T 1 4 π D A B 2 D - 1 D 2 + δ

n A , r = M M A R T P A 0 - x A P 1 4 π D A B 2 D - 2 D + 2 δ

n A , r = M M A R T P A 0 - x A P 1 2 π D A B 1 D - 1 D + 2 δ         E q 4

Passo 7

Substituindo a taxa mássica dada pela Eq4 na Eq2, vamos ter que:

d P A d t = 6 π R T M M A D 3 M M A R T P A 0 - x A P 1 2 π D A B 1 D - 1 D + 2 δ

d P A d t = 6 π D 3 P A 0 - x A P 1 2 π D A B 1 D - 1 D + 2 δ

Agora basta você aplicar os valores para cada propriedade correspondente aos gases N2 e O2

Passo 8

Vamos pegar os dados do coeficiente difusivo para o O2 e N2. Pela Tabela A.8:

D A B ( O 2 ) = 0,21 x 10 - 4 m 2 s ;   D A B ( N 2 ) = 0,19 x 10 - 4 m 2 s

A constante dos gases ideais, R, é:

R = 8,314   k P a   m 3   k m o l - 1 K - 1 = 0,08314   b a r   m 3   k m o l - 1 K - 1

Passo 9

Calculando a taxa temporal de variação de pressão par cada gás:

Para o oxigênio:

d P O 2 d t = 6 π ( 0,2 m ) 3 5,0   b a r - 0,21 1,0 b a r 1 2 π 0,21 x 10 - 4 m 2 s 1 0,2 m - 1 0,2 m + 2 ( 0,001 m )

d P O 2 d t = 3,05   b a r   s - 1

Para o nitrogênio:

d P N 2 d t = 6 π ( 0,2 m ) 3 5,0   b a r - 0,79 1,0 b a r 1 2 π 0 , 1 9 x 10 - 4 m 2 s 1 0,2 m - 1 0,2 m + 2 ( 0,001 m )

d P N 2 d t = 2,42   b a r   s - 1

Resposta

d P O 2 d t = 3,05   b a r   s - 1

d P N 2 d t = 2,42   b a r   s - 1

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