Enunciado

27 – Considere as condições do exemplo 9.3, incluído o efeito da adição de um isolamento de espessura t e condutividade térmica k=0,035 W/m.K para o duto. Nós desejamos agora incluir o efeito da radiação nas temperaturas da superfície externa e a taxa de perda de calor total por unidade de comprimento do duto.

A) Se Ts,1=45°C, t=25 mm, ε=1, e TViz=288 K, qual é a temperatura da superfície do lado, do topo e do fundo? Qual são as taxas de perda calor correspondentes por unidade de comprimento do duto?

B) Para a superfície do topo, calcule e plote a Ts,2 e q’ como uma função da espessura do isolamento para 0 ≤ t ≤ 50 mm. A superfície exposta do duto (t=0) pode ser assumida com emissividade ε=1.

Passo 1

A)

Para encontrarmos a temperatura externa de cada superfície, podemos pensar no seguinte: fazendo um balanço de energia ao redor da superfície externa, vamos ter três tipos de energia térmica, transferência de calor, ocorrendo, a condução pelo revestimento, a convecção com a vizinhança e a radiação sobre a superfície externa. A condução é a energia que entra neste sistema da superfície externa e a convecção e a radiação são as energias que saem para o ambiente externo. Assim, o balanço de energia que podemos montar é

q c o n d - q c o n v - q r a d = 0         E q 1

As taxas de transferência de calor podem ser determinadas pela relação com a resistência térmica, assim

q c o n d = T s , 1 - T s , 2 R c o n d ;   q c o n v = T s , 2 - T V i z R c o n v ; q r a d = T s , 2 4 - T V i z 4 R r a d ;

Onde, TS,2 é a temperatura relativa a cada superfície. Para a superfície do lado, TS,2=Tlado, para a temperatura do topo, TS,2=TTopo, e para a temperatura do fundo, TS,2=TFundo.

Passo 2

Lembrando que as respectivas resistências são

R c o n d = t k A ;   R c o n v = 1 h A ; R r a d = 1 ε σ A  

Onde, σ é a constante de Stefan-Boltzmann que vale:

σ = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4

Substituindo no balanço de energia da Eq1:

T s , 1 - T s , 2 R c o n d -   T s , 2 - T V i z R c o n v - T s , 2 4 - T V i z 4 R r a d = 0

k A T s , 1 - T s , 2 t - h A T s , 2 - T V i z - ε σ A T s , 2 4 - T V i z 4 = 0

A área A é comum nos três termos acima, dessa forma ela pode ser eliminada da equação, pois do outro lado temos o zero, assim

k T s , 1 - T s , 2 t - h T s , 2 - T V i z - ε σ T s , 2 4 - T V i z 4 = 0

Vamos tentar isolar TS,2

k T s , 2 t + h T s , 2 + ε σ T s , 2 4 = k T s , 1 t + h T V i z + ε σ T V i z 4

T s , 2 k t + h + ε σ T s , 2 3 = k T s , 1 t + h T V i z + ε σ T V i z 4

T s , 2 = k T s , 1 t + h T V i z + ε σ T V i z 4 k t + h + ε σ T s , 2 3         E q 2

Não conseguimos isolar TS,2 de forma explicita, pois no segundo lado da igualdade temos também este termo como você pode ver, assim quando formos encontrar a temperatura vamos usar um método iterativo para isso.

Passo 3

Da Eq2 o que precisamos encontrar é o coeficiente de transferência de calor, h, que vai possuir um valor para cada uma das superfícies. Podemos determinar o h pela equação de Nusselt, Nu:

N u = h L k

Isolando h

h = k N u L               E q 3

Onde, L caracteriza a dimensão associada a cada superfície.

O nº de Nusselt, Nu, deve ser calculado com uma correlação apropriada para cada superfície.

Para uma superfície lateral de um duto temos que para o cálculo de Nusselt:

N u = 0,68 + 0,67 R a 0,25 1 + 0,492 P r 9 16 4 9

Para uma superfície inferior de uma placa quente, que é o caso, Nusselt pode ser determinado pela seguinte correlação

N u = 0,52 R a 0,2

Para uma superfície superior de uma placa quente, Nusselt pode ser determinado pela correlação abaixo

N u = 0,15 R a 1 3

Onde, para essas correlações anteriores, Pr é o nº de Prandtl e Ra é nº de Rayleigh. Prandtl lembrando que é determinado por tabela e Rayleigh pode ser calculado pela seguinte expressão

R a = g β T S , 2 - T V i z L 3 v α

Veja que Rayleigh dependerá de TS,2 que é a temperatura da superfície externa, em que cada superfície possui um valor.

Passo 4

Vamos equacionar o coeficiente de troca térmica para cada superfície, conforme a Eq3 e as eq’s de Nusselt e de Rayleigh:

-Superfície lateral:

Para a superfície lateral

L = H

Assim, substituindo Nusselt

h = k H 0,68 + 0,67 R a 0,25 1 + 0,492 P r 9 16 - 4 9

Agora o Rayleigh

h = k H 0,68 + 0,67 g β T S , 2 - T V i z H 3 v α 0,25 1 + 0,492 P r 9 16 - 4 9

Aplicando os valores já conhecidos, conforme os dados do exemplo 9.3:

Dados para o ar, do exemplo 9.3:

v = 16,2 x 10 - 6 m 2 s ; k = 0,0265 W m . K ;   β = 0,0033   K - 1 ; P r = 0,710 ;   α = 22,9 x 10 - 6 m 2 s

h = 0,0265 W m K 0,3 m 0,68 + 0,67 9,81 m s 2 0,0033   K - 1 T S , 2 - 288 K ( 0,3 m ) 3 16,2 x 10 - 6 m 2 s 22,9 x 10 - 6 m 2 s 0,25 1 + 0,492 0,710 9 16 - 4 9

h = 0,06 + 4,3904 T S , 2 - 288 0,25

Passo 5

Repetindo o mesmo procedimento para a superfície do topo e do fundo:

-Superfície do topo:

L = w 2

h = 2 k w 0,15 R a 1 3

h = 2 k w 0,15 g β T S , 2 - T V i z ( w / 2 ) 3 v α 1 3

h = 2 0,0265 W m K 0,75 m 0,15 9,81 m s 2 0,0033   K - 1 T S , 2 - 288 K 0,75 m 2 3 16,2 x 10 - 6 m 2 s 22,9 x 10 - 6 m 2 s 1 3

h = 1,76312 T S , 2 - 288 1 3

Passo 6

-Superfície do fundo:

L = w 2

h = 2 k w 0,52 R a 0,2

h = 2 k w 0,52 g β T S , 2 - T V i z ( w / 2 ) 3 v α 0,2

h = 2 0,0265 W m K 0,75 m 0,52 9,81 m s 2 0,0033   K - 1 T S , 2 - 288 K 0,75 m 2 3 16,2 x 10 - 6 m 2 s 22,9 x 10 - 6 m 2 s 0,2

h = 0,79032 T S , 2 - 288 0,2

Passo 7

Calculando as temperaturas com a Eq2:

T s , 2 = k T s , 1 t + h T V i z + ε σ T V i z 4 k t + h + ε σ T s , 2 3

  • Superfície Lateral:
  • T s , 2 = 0,0265 318 0,025 + 0,06 + 4,3904 T S , 2 - 288 0,25 ( 288 ) + ( 5,67 x 10 - 8 ) 288 4 0,0265 0,025 + 0,06 + 4,3904 T S , 2 - 288 0,25 + ( 5,67 x 10 - 8 ) T s , 2 3

    T s , 2 = 70,28 + 1264,435 T S , 2 - 288 0,25 1 + 4,3904 T S , 2 - 288 0,25 + ( 5,67 x 10 - 8 ) T s , 2 3

    Solução por iteração:

    T s , 2 L a t e r a l = 323,62   K

  • Superfície do Topo:
  • T s , 2 = ( 0,0265 ) ( 318 ) 0,025 + 1,76312 T S , 2 - 288 1 3 ( 288 ) + ( 5,67 x 10 - 8 ) 288 4 0,0265 0,025 + 1,76312 T S , 2 - 288 1 3 + ( 5,67 x 10 - 8 ) T s , 2 3

    T s , 2 = 727,16 + 507,78 T S , 2 - 288 1 3 1,06 + 1,76312 T S , 2 - 288 1 3 + ( 5,67 x 10 - 8 ) T s , 2 3

    Solução por iteração:

    T s , 2 T o p o = 342 , 48   K

  • Superfície do Fundo:

T s , 2 = ( 0,0265 ) ( 318 ) 0,025 + 0,79032 T S , 2 - 288 0,2 ( 288 ) + ( 5,67 x 10 - 8 ) 288 4 0,0265 0,025 + 0,79032 T S , 2 - 288 0,2 + ( 5,67 x 10 - 8 ) T s , 2 3

T s , 2 = 727,16 + 22 7 , 61 T S , 2 - 288 0,2 1,06 + 0,79032 T S , 2 - 288 0,2 + ( 5,67 x 10 - 8 ) T s , 2 3

Solução por iteração:

T s , 2 F u n d o = 42 1 , 3 8   K

Passo 8

Para as taxas de perda de calor, vamos usar a relação direta com a resistência térmica total, onde a diferença de temperatura será entre a temperatura interior, TS,1, e temperatura do ambiente externo, a vizinhança, TViz, assim

q = T s , 1 - T V i z R T o t a l = T s , 1 - T V i z R c o n d + R c o n v + R r a d

Onde,

R c o n d = t k A ;   R c o n v = 1 h A ; R r a d = 1 ε σ A

Assim,

q = T s , 1 - T V i z t k A + 1 h A + 1 ε σ A

q = A T s , 1 - T V i z t k + 1 h + 1 ε σ

Para cada superfície vamos usar essa expressão.

A área A é intrínseca para cada superfície:

A l a t e r a l = 2 L H (São dois lados laterais)

A t o p o = L w = A f u n d o

Sendo L o comprimento do duto, então para cada superfície temos que a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento são:

q ' l a t e r a l = 2 H T s , 1 - T V i z t k + 1 h l a t e r a l + 1 ε σ

q ' t o p o = w T s , 1 - T V i z t k + 1 h t o p o + 1 ε σ

q ' t o p o = w T s , 1 - T V i z t k + 1 h f u n d o + 1 ε σ

Assim, a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do duto total é:

q ' T o t a l = q ' l a t e r a l + q ' t o p o + q ' f u n d o

q ' T o t a l = 2 H T s , 1 - T V i z t k + 1 h l a t e r a l + 1 ε σ + w T s , 1 - T V i z t k + 1 h t o p o + 1 ε σ + w T s , 1 - T V i z t k + 1 h f u n d o + 1 ε σ

Passo 9

Precisamos calcular os valores de h para cada superfície. Para isso vamos pegar as equações simplificadas que chegamos anteriormente para cada h:

-hlateral:

h l a t e r a l = 0,06 + 4,3904 T S , 2 - 288 0,25

h l a t e r a l = 0,06 + 4,3904 323,62 - 288 0,25 = 10,8 W m 2 K

-htopo:

h t o p o = 1,76312 T S , 2 - 288 1 3

h t o p o = 1,76312 342,48 - 288 1 3 = 6,68 W m 2 K

-hfundo:

h f u n d o = 0,79032 T S , 2 - 288 0,2

h f u n d o = 0,79032 421,38 - 288 0,2 = 2,1 W m 2 K

Passo 10

Para finalizar, vamos finalmente calcular a taxa total:

Aplicando os valores

q ' T o t a l = 2 ( 0,3 ) ( 45 - 15 ) 0,025 0,0265 + 1 10,8 + 1 5,67 x 10 - 8 + ( 0,75 ) ( 45 - 15 ) 0,025 0,0265 + 1 6,68 + 1 5,67 x 10 - 8 + ( 0,75 ) ( 45 - 15 ) 0,025 0,0265 + 1 2,1 + 1 5,67 x 10 - 8

q ' T o t a l = 1,02 x 10 - 6 W m + 1,28 x 10 - 6 W m + 1,28 x 10 - 6 W m

q ' T o t a l = 3,57 x 10 - 6 W m

Resposta

T s , 2 L a t e r a l = 323,62   K

T s , 2 T o p o = 342,48   K

T s , 2 F u n d o = 421,38   K

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