Enunciado

29 – Considere a superfície difusiva do Problema 12.28. Determine a emissividade da superfície hemisférica e a potência emitida em T = 300, 500, e 700 K. Em qual comprimento de onda o pico espectral de emissão ocorre quando a superfície esta nestas temperaturas?

Passo 1

Vamos começar encontrando uma expressão calcularmos a emissividade da superfície e também a potência emitida.

Pela eq. 12.34 do Incropera, a emissividade, ε, pode ser expressa como:

ε T = ε 1 F ( 0 → λ 1 ) + ε 2 F 0 → λ 2 - F 0 → λ 1 + ε 3 [ F 0 → λ 3 - F ( 0 → λ 2 ) ]  

Onde,

ε 1 = 0,75 ;   ε 2 = 0,10 ;   ε 3 = 0,50

λ 1 = 4 μ m ;   λ 2 = 6 μ m ; λ 3 = 10 μ m

Os valores de F são encontrados na Tabela 12.2 do Incropera.

A potência total emitida pode ser determinada pela eq. 13.37 do Incropera:

E T = ε T E b T

Onde, Eb é a potência emitida de um corpo negro que é dado pela seguinte expressão:

E b T = σ T 4

Onde, σ é a constante de Stefan-Boltzmann

σ = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4

Assim,

E T = ε T σ T 4

Passo 2

Vamos agora aos cálculos para cada temperatura:

Para T = 300 K:

λ 1 T = 1200   μ m   K ;   λ 2 T = 1800   μ m   K ; λ 3 T = 3000   μ m   K

Assim, pela Tabela 12.2:

F ( 0 → λ 1 ) = 0,002134 ;   F ( 0 → λ 2 ) = 0,039341 ;   F ( 0 → λ 3 ) = 0,273232

Calculando a emissividade:

ε 300   K = 0,75 F ( 0 → λ 1 ) + 0,10 F 0 → λ 2 - F 0 → λ 1 + 0,50 [ F 0 → λ 3 - F ( 0 → λ 2 ) ]

ε 300   K = 0,75 ( 0,002134 ) + 0,10 0,039341 - 0,002134 + 0,50 [ 0,273232 - 0,039341 ]

ε 300   K = 0,1223

Para a potência total:

E 300   K = ε 300   K σ ( 300   K ) 4

E 300   K = 0,1223 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 300   K 4 = 56,15 W m 2

Passo 3

Para T = 500 K:

λ 1 T = 2000   μ m   K ;   λ 2 T = 3000   μ m   K ; λ 3 T = 5000   μ m   K

Assim, pela Tabela 12.2:

F ( 0 → λ 1 ) = 0,066728 ;   F ( 0 → λ 2 ) = 0,273232 ;   F ( 0 → λ 3 ) = 0,633747

Calculando a emissividade:

ε 500   K = 0,75 F ( 0 → λ 1 ) + 0,10 F 0 → λ 2 - F 0 → λ 1 + 0,50 [ F 0 → λ 3 - F ( 0 → λ 2 ) ]

ε 300   K = 0,75 ( 0,066728 ) + 0,10 0,273232 - 0,066728 + 0,50 [ 0,633747 - 0,273232 ]

ε 500   K = 0,251

Para a potência total:

E 500   K = ε 500   K σ ( 500   K ) 4

E 500   K = 0,251 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 500   K 4 = 889,3 W m 2

Passo 4

Para T = 700 K:

λ 1 T = 2800   μ m   K ;   λ 2 T = 4200   μ m   K ; λ 3 T = 7000   μ m   K

Assim, pela Tabela 12.2:

F ( 0 → λ 1 ) = 0,227897 ;   F ( 0 → λ 2 ) = 0,516014 ;   F ( 0 → λ 3 ) = 0,808109

Calculando a emissividade:

ε 700   K = 0,75 F ( 0 → λ 1 ) + 0,10 F 0 → λ 2 - F 0 → λ 1 + 0,50 [ F 0 → λ 3 - F ( 0 → λ 2 ) ]

ε 300   K = 0,75 ( 0,227897 ) + 0,10 0,516014 - 0,227897 + 0,50 [ 0,808109 - 0,516014 ]

ε 700   K = 0,3458

Para a potência total:

E 700   K = ε 700   K σ ( 700   K ) 4

E 700   K = 0,3458 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 700   K 4 = 4707,4 W m 2

Resposta

ε 300   K = 0,1223 ;   E 300   K = 56,15 W m 2

ε 500   K = 0,251 ;   E 500   K = 889,3 W m 2

ε 700   K = 0,3458 ;   E 700   K = 4707,4 W m 2

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