Enunciado

43. Considere a solução em série, Equação 5.42, para a parede plana com convecção. Calcule as temperaturas θ* no seu plano central (x* = 0) e na sua superfície (x* = 1) para Fo = 0,1 e 1, usando Bi = 0,1; 1 e 10. Considere somente os quatro primeiros autovalores. Com base nesses

resultados, discuta a validade das soluções aproximadas, Equações 5.43 e 5.44.

Passo 1

Escrevendo a equação da solução em série para a parede plana com convecção temos:

θ * = ∑ n = 1 ∞ C n exp ⁡ - ξ n 2 F 0 cos ⁡ ( ξ n x * )

Na forma dimensional de dependência, a solução em série para parede plana com convecção pode ser escrita da seguinte maneira:

θ * = f ( x * , F 0 , B i )

Em que as equaçãoes para o número de Biot e as constantes são:

B i = ζ n tan ⁡ ζ n

C n = 4 sin ⁡ ζ n 2 ζ n + sin ⁡ ( 2 ζ n )

Considere que a solução em série tem quatro valores próprios.

Então vamos escrever a equação dos quatro primeiros valores de eigen para a solução em série.

θ * = θ 1 * + θ 2 * + θ 3 * + θ 4 *

=   C 1 exp ⁡ - ξ 1 2 F 0 cos ⁡ ξ 1 x * + C 2 exp ⁡ - ξ 2 2 F 0 cos ⁡ ξ 2 x * + C 3 exp ⁡ - ξ 3 2 F 0 cos ⁡ ξ 3 x * + C 4 exp ⁡ - ξ 4 2 F 0 cos ⁡ ξ 4 x *   ( 1 )

Obtenha os valores de Eigen na tabela “Coeficientes usados ​​na aproximação de um termo para as soluções em série para condução unidimensional transitória” e tabule os quatro primeiros valores de Eigen para diferentes números de Biot.

Passo 2

Cálculo de amostra para a temperatura no meio do plano da parede plana com convecção para o número de Fourier  F 0 = 0,1   e no número de Biot  B i = 0,1   :

Para o plano médio,  x * = 0

Substitua os valores correspondentes da tabela na equação (1).

θ 1 * =   C 1 exp ⁡ - ξ 1 2 F 0 cos ⁡ ξ 1 x * + C 2 exp ⁡ - ξ 2 2 F 0 cos ⁡ ξ 2 x * + C 3 exp ⁡ - ξ 3 2 F 0 cos ⁡ ξ 3 x * + C 4 exp ⁡ - ξ 4 2 F 0 cos ⁡ ξ 4 x *

θ 1 * = 1,0062

Cálculo de amostra para a temperatura no meio do plano da parede plana com convecção para o número de Fourier  F 0 = 0,1   e no número de Biot  B i = 0,1   :

Para o plano médio,  x * = 1

Substitua os valores correspondentes da tabela na equação (1).

θ 2 * =   C 1 exp ⁡ - ξ 1 2 F 0 cos ⁡ ξ 1 x * + C 2 exp ⁡ - ξ 2 2 F 0 cos ⁡ ξ 2 x * + C 3 exp ⁡ - ξ 3 2 F 0 cos ⁡ ξ 3 x * + C 4 exp ⁡ - ξ 4 2 F 0 cos ⁡ ξ 4 x *

θ 1 * = 0,9579

Tabule os valores da temperatura média e da superfície da parede do plano com convecção para o número de Fourier  F 0 = 0,1 .

No número Biot  B 1 = 0,1   ; 1   e   10

Tabela 1):Tabule os valores da temperatura média e da superfície da parede do plano com convecção para o número de Fourier  F 0 = 1 .

No número Biot  B 1 = 0,1   ; 1   e   10

Tabela 2):

Passo 3

Assim, a partir dos valores calculados acima na tabela (1) e (2), é muito claro que o primeiro valor Eigen é suficiente para calcular a temperatura da parede plana para o número de Fourier igual a 1. Mas, no caso do número de Fourier de 0.1, a temperatura da parede plana é decidida pelos três primeiros valores de Eigen.

Na literatura, as soluções aproximadas são válidas para o número de Fourier maior que 0,2. Para verificar a validade, repita os cálculos acima para o número de Fourier igual a 0,2.

Calcular a temperatura da parede plana com convecção tem um número de Fourier,  F 0 = 1

E número Biot  B i = 0,1   ;     1   e   10

Para o plano médio,  x * = 0

Tabular os valores das temperaturas da parede do plano médio com convecção tem um número de Fourier  F 0 = 1 ,.

Assim, a solução aproximada para a série terá apenas o primeiro termo de valor próprio. Com base no cálculo de erro na tabela acima, pode-se afirmar que o efeito do segundo termo e outros termos são negligenciáveis ​​para o número Biot 0,1, enquanto o efeito é em torno de no máximo 1,5% para o número Biot maior que 1.

Resposta

Discussão em texto.

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