Enunciado

56. Duas placas do mesmo material e espessura L estão em diferentes temperaturas iniciais Ti,1 e Ti,2, sendo Ti,2 > Ti,1. Suas superfícies são subitamente colocadas em contato. As superfícies externas das duas placas estão isoladas.

(a) Seja uma temperatura adimensional definida por T*(Fo) ≡ (T –Ti,1)/(Ti,2 – Ti,1) > Desprezando a resistência térmica de contato na interface entre as placas, quais são as temperaturas adimensionais no estado estacionário de cada uma das duas placas, 1 e 2? Qual é a temperatura adimensional na interface em qualquer tempo?

(b) Um coeficiente global de transferência de calor efetivo entre as duas placas pode ser definido com base nas temperaturas médias espaciais adimensionais e instantâneas das placas, ≡ q* / ( – ). Observando que a taxa de transferência de calor adimensional para ou a partir de uma das duas placas pode ser representada por q* =d(Q/Qo)/dFo, determine uma expressão para , para Fo > 0,2.

Passo 1

Letra (a)

 Observe que a espessura  L   e as propriedades das duas placas são iguais.

Assim, ambas as placas atingirão uma temperatura estável que é a média de  T 1   T 2 .

Aqui, a temperatura da primeira placa é  T 1   e, a temperatura da segunda placa é  T 2 .

Expresse a temperatura adimensional como

T * F 0 = T - T 1 T 2 - T 1

Substituindo   T = T 1 + T 2 2 .

Isso implica que as temperaturas adimensionais no estado estacionário de cada uma das duas placas sejam T s s , 1 * = T s s , 2 * = T 1 + T 2 2 - T 1 T 2 - T 1 = T 2 - T 1 2 × 1 T 2 - T 1 = 0,5   .

Em seguida, leve em consideração a simetria da superfície da placa  x = 0   e, a qualquer momento, a temperatura da interface adimensional também será  T i n t * = 0,5 .Portanto, as temperaturas adimensionais no estado estacionário de cada uma das duas placas são  0,5 e, a temperatura sem interface da interface é  0,5 .

Passo 2

Letra (b)

Considere simetria geométrica da superfície da placa em torno de x = 0.

Em seguida, analise apenas uma das placas, considerando uma superfície adiabática e uma segunda superfície mantidas a uma temperatura constante.

Para a condição de limite de temperatura constante, B i = h L k → ∞  

Na tabela “Coeficientes usados ​​na aproximação de um termo para as soluções em série para condução unidimensional transitória”, o coeficiente  C 1 = 1,2733 e, ξ 1 = π 2

Agora, assuma propriedades constantes e, portanto, a proporção da energia total transferida da superfície durante o intervalo de tempo  t   para a transferência máxima possível é

Q Q 0 = 1 - sin ⁡ ξ 1 ξ 1 θ 0 *

Aqui, a temperatura no plano médio é  θ 0 * = C 1 exp ⁡ ( - ξ 1 2 F 0 )

Substitua a expressão para  θ 0 *   obter  Q Q 0 = 1 - sin ⁡ ξ 1 ξ 1 C 1 exp ⁡ - ξ 1 2 F 0   ( 1 )

A temperatura adimensional espacialmente média para uma placa é θ - * = 1 V ∫ T x , t - T i n t T i - T i n t d V  

Aqui, a temperatura da interface é  T i n t .

A partir da equação Q = - ∫ ρ c T x , t - T i d V  , expresse a temperatura média do plano médio como

θ - * = 1 - Q Q 0     ( 2 )

A equação (1) fornece d Q Q 0 d F 0 = q * = 2 C 1 sin ⁡ ξ 1 exp ⁡ ( - ξ 1 2 F 0 )   enquanto que da equação (2) θ - * = C 1 sin ⁡ ξ 1 ξ 1 exp ⁡ ( - ξ 1 2 F 0 ) .

Portanto, para um prato,  U e f f , 1 * = d Q Q 0 d F 0 θ - * = 2 ξ 1 = π .

Observe que a diferença de temperatura sem dimensão para o sistema de duas placas é T 2 * - T 1 * = 2 θ - * .  

Portanto, para o sistema de dois planos, a expressão para o coeficiente de transferência de calor global eficaz para  F 0 > 0,2   é U e f f * = U e f f , 2 * 2 = U e f f , 1 * 2 = π 2 .

Resposta

  1. 0,5
  2. U e f f * = U e f f , 2 * 2 = U e f f , 1 * 2 = π 2
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