Enunciado

46 - O cérebro humano é especialmente sensível a elevadas temperaturas. O sangue frio nas veias saindo da face e do pescoço e retornando ao coração pode contribuir para a regulação térmica do cérebro, através do resfriamento do sangue arterial que escoa para o cérebro. Considere uma veia e uma artéria ligando o tórax à base do crânio, por uma distância de L = 250   m m , com vazões mássicas de 3 × 10 – 3   k g / s em sentidos opostos nos dois vasos. Os vasos têm diâmetro D   =   5   m m e são separados por uma distância w = 7   m m . A condutividade térmica do tecido circundante é k t = 0,5   W / ( m · K ) . Se o sangue arterial entra a 37 ℃ e o sangue venoso entra a 27 ℃ , a que temperatura o sangue arterial irá sair? Se o sangue arterial se aquecer em demasia e o corpo responder diminuindo pela metade a vazão do sangue, o quanto mais quente o sangue arterial que entra pode estar, ainda mantendo sua temperatura de saída abaixo dos 37   ℃ ? Sugestão: Se considerarmos que todo o calor que sai da artéria entra na veia, então a transferência de calor entre os dois vasos pode ser modelada usando uma relação disponível na Tabela 4.1. Aproxime as propriedades do sangue pelas propriedades da água.

Passo 1

Para não ficarmos perdidos nesse enunciado gigante, vamos listar todos os dados fornecidos para melhorar a visualização do problema:

A vazão mássica do sangue que flui na artéria é:

m ˙ = 3 × 10 - 3   k g / s

A vazão mássica do sangue a fluir na veia é:

m ˙ = 3 × 10 - 3   k g / s

Diâmetro dos vasos é:

D = 5   m m

A condutividade térmica do tecido circundante:

k = 0,5   W / m ⋅ K

A temperatura de entrada de sangue na artéria é:

T h , i = 37   ℃

A temperatura de entrada de sangue na veia é:

T c , i = 27   ℃

O comprimento da veia até o crânio é:

L = 250   m m

A distância entre veia e artéria é:

w = 7   m m

Passo 2

Com base nos detalhes fornecidos, o fluxo de sangue nas veias e artérias está na direção oposta. A distribuição de temperatura pode ser representada esquematicamente em dois casos quem seguem a seguir.

Passo 3

Como a temperatura de saída do sangue não é conhecida, a temperatura média não pode ser calculada.

Portanto, vamos considerar as propriedades do sangue (água) a 305   K .

c p = 4,178 × 10 3   J / k g ⋅ K

μ = 769 × 10 - 6   N ⋅ s / m 2

k = 620 × 10 - 3   W m ⋅ ℃

P r = 5,20

ρ = 995   k g / m 3

Passo 4

CASO 1:

Como o mesmo fluido está fluindo na artéria e veia com taxa de fluxo de massa igual, o coeficiente de transferência de calor por convecção será o mesmo em ambos os vasos.

ou seja, h f r i o = h q u e n t e

Também as taxas de capacidade de calor também serão iguais.

ou seja,

C q u e n t e = C f r i o

C m i n = C m a x

A relação da capacidade térmica é dada por,

C r = C m i n C m a x

= 1

Passo 5

Temos que o número de Reynolds é dado pela seguinte expressão:

R e D = 4 m ˙ π μ D

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

= 4 × 3 × 10 - 3 π × 5 × 10 - 3 × 769 × 10 - 6

R e D = 994,42

Como o número de Reynolds é menor que 2300, o fluxo é considerado laminar.

Passo 6

O comprimento térmico da entrada pode ser expresso como:

x f d = 0,05 R e D P r D

= 0,05 × 993,42 × 5,20 × 5 × 10 - 3

x f d = 1,291 ≫ L

Passo 7

Temos que o número de Nusselt para um fluxo laminar na região de entrada é expresso como:

N u D = 3,66 + 0,0668 D L R e D P r 1 + 0,04 D L R e D P r 2 3

= 3,66 + 0,0668 0,005 0,250 994,42 × 5,2 1 + 0,04 0,005 0,250 994,42 × 5,2 2 3

= 7,33

O coeficiente convectivo de transferência de calor do ar é determinado a partir da equação dada por:

N u = h D k

Reescreva para achar h :

h = N u × k D

= 7,33 × 620 × 10 - 3 5 × 10 - 3

= 908,9   W m 2 ⋅ K

Portanto,

h f r i o = h q u e n t e = 908,9   W m 2 ⋅ K

Passo 8

Vamos assumir que todo o calor que sai da artéria entra na veia, a resistência condutora entre os dois vasos pode ser modelada a partir do fator de forma presente na tabela 4.1, da seguinte forma:

R c o n d = 1 S k

= cosh - 1 ⁡ 4 w 2 - 2 D 2 2 D 2 2 π k L

= cosh - 1 ⁡ 4 × 7 × 10 - 3 2 - 2 5 × 10 - 3 2 2 5 × 10 - 3 2 2 × π × 0,5 × 250 × 10 - 3

R c o n d = 2,2   K / W

Passo 9

Temos que o coeficiente geral de transferência de calor é expresso como:

1 U A = 1 h i A i + R c o n d + 1 h o A o

= 1 h f π D L + R c o n d + 1 h q π D L

1 U A = 2 h f π D L + R c o n d

1 U A = 2 909,9 × π × 5 × 10 - 3 × 250 × 10 - 3 + 2,2

1 U A = 2,76   K / W

1 U A = 2,76   K / W

U A = 0,363   W / K

Passo 10

Para um trocador de calor de casco e tubo com uma passagem de casco e (2, 4… passes de tubo) O número de unidades de transferência das  N T U relações do trocador de calor é expresso como:

N T U = U A C m i n

= U A m ˙ c p

= 0,362 3 × 10 - 3 × 4,178 × 10 3

= 0,0288

Passo 11

A eficácia deste modelo de contracorrente com taxas iguais de capacidade de calor é representada como:

ε = N T U 1 + N T U

= 0,0288 1 + 0,0288

= 0,0279

Passo 12

Já a eficácia em termos de taxa de transferência de calor é dada como:

ε = C q T h , i - T h , o C m i n ( T h , i - T c , i )  

ε = T h , i - T h , o ( T h , i - T c , i )  

0,0279 = 37 - T h , o 37 - 27

T h , o = 37 - ( 10 × 0,0279 )

T h , o = 36,72   ℃

Portanto, a temperatura de saída do sangue arterial é  36,72   ℃ .

Passo 13

Repare que nesse segundo caso, os passos se repetem, logo não detalhamos tanto, porque são idênticos, mudando apenas os valores.

CASO 2:

Se a taxa de fluxo de massa for reduzida pela metade, temos:

m ˙ c l = m ˙ 2

= 3 × 10 - 3 2

= 1,5 × 10 - 3   k g / s

Passo 14

Temos que o número de Reynolds é dado pela seguinte expressão:

R e D = 4 m ˙ π μ D

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

= 4 × 1,5 × 10 - 3 π × 5 × 10 - 3 × 769 × 10 - 6

R e D = 496,71

Como o número de Reynolds é menor que 2300, o fluxo é considerado laminar.

O comprimento térmico da entrada pode ser expresso como:

x f d = 0,05 R e D P r D

= 0,05 × 496,71 × 5,20 × 5 × 10 - 3

x f d = 0,645 ≫ L

Passo 15

O número de Nusselt para fluxo laminar na região de entrada é dado por:

N u D = 3,66 + 0,0668 D L R e D P r 1 + 0,04 D L R e D P r 2 3

= 3,66 + 0,0668 0,005 0,250 496,71 × 5,2 1 + 0,04 0,005 0,250 496,71 × 5,2 2 3

= 5,88

O coeficiente convectivo de transferência de calor do ar é determinado a partir da equação dada por:

N u = h D k

Reescreva para achar h :

h = N u × k D

= 5,88 × 620 × 10 - 3 5 × 10 - 3

= 729,12   W m 2 ⋅ K

Portanto,

h f r i o = h q u e n t e = 729,12   W m 2 ⋅ K

Passo 16

Assumindo que todo o calor que sai da artéria entra na veia, a resistência condutora entre os dois vasos pode ser modelada da seguinte forma:

R c o n d = 1 S k

= cosh - 1 ⁡ 4 w 2 - 2 D 2 2 D 2 2 π k L

= cosh - 1 ⁡ 4 × 7 × 10 - 3 2 - 2 5 × 10 - 3 2 2 5 × 10 - 3 2 2 × π × 0,5 × 250 × 10 - 3

R c o n d = 2,2   K / W

Passo 17

O produto do coeficiente geral de transferência de calor e da área de transferência de calor é dado por:

1 U A = 1 h i A i + R c o n d + 1 h o A o

= 1 h f π D L + R c o n d + 1 h q π D L

1 U A = 2 h f π D L + R c o n d

1 U A = 2 729,12 × π × 5 × 10 - 3 × 250 × 10 - 3 + 2,2

1 U A = 2,898   K / W

U A = 0,345   W / K

Passo 18

NTU é dado por:

N T U = U A C m i n

= U A m ˙ c p

= 0,345 1,5 × 10 - 3 × 4,178 × 10 3

= 0,055

Passo 19

A eficácia deste modelo de contracorrente com taxas iguais de capacidade de calor é representada como:

ε = N T U 1 + N T U

= 0,055 1 + 0,055

= 0,0521

Passo 20

Já a eficácia em termos de taxa de transferência de calor é dada por:

ε = C q T h , i - T h , o C m i n ( T h , i - T c , i )  

ε = T h , i - T h , o ( T h , i - T c , i )  

0,0521 = T h , i - 37 T h , i - 27

0,0521 T h , i - 1,4067 = T h i - 37

0,9479 T h , i = 35,59

T h , i = 37,54   ℃  

Portanto, a temperatura máxima de entrada do sangue arterial pode ser  37,54   ℃ .

Resposta

T h , o = 36,72   ℃

T h , i = 37,54   ℃  

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