Enunciado

9.13 Um modelo simplificado para camada-limite laminar é

u U = 2 y δ                         0 < y ≤ δ 2

u U = 2 - 2 y δ + 2 - 1                                     δ 2 < y ≤ δ

Esta expressão satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da camada-limite laminar? Avalie δ * / δ   e θ / δ   .

Passo 1

As condições de contorno são:

u 0 = 0

d u d y y = δ = 0

Como:

u y = U 2 y δ

E a derivada: (vamos pegar a segunda expressão, porque vamos usar a derivada no ponto y = δ )

d u d y = U 2 - 2 δ

Passo 2

Agora conferimos:

Em y = 0 : (bem... teoricamente não ta definido em y=0 porque não ta “menor ou igual”, ta só “menor”, mas vamos fingir que esteja definido)

u 0 = U 2 0 δ

u 0 = 0

Em y = δ :

d u d y y = δ = U 2 - 2 δ

d u d y y = δ ≠ 0

Portanto, não satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da camada-limite laminar.

Passo 3

Para δ * :

δ * = ∫ 0 ∞ 1 - u U d y = ∫ 0 δ 1 - u U d y

δ * = ∫ 0 δ 2 1 - 2 y δ d y + ∫ δ 2 δ 1 - 2 - 2 y δ + 2 - 1 d y

δ * = ∫ 0 δ 2 1 - 2 y δ d y + ∫ δ 2 δ - 2 - 2 y δ - 2 + 2 d y

δ * = y - 2 y 2 2 δ 0 δ 2 + 2 - 2 y - 2 - 2 y 2 2 δ δ 2 δ

δ * = δ 2 - 2 δ 2 2 2 δ + 2 - 2 δ - 2 - 2 δ 2 2 δ - 2 - 2 δ 2 + 2 - 2 δ 2 2 2 δ

δ * = δ 2 - 2 δ 2 8 δ + 2 - 2 δ - 2 - 2 δ 2 2 δ - 2 - 2 δ 2 + 2 - 2 δ 2 8 δ

δ * = 1 2 - 2 8 + 2 - 2 - 1 + 2 2 - 1 + 2 2 + 1 4 - 2 8 δ

δ * = 3 4 - 2 4 δ

Então:

δ * δ = 3 4 - 2 4

δ * δ = 0,396

Passo 4

Para θ :

θ = ∫ 0 ∞ u U 1 - u U d y = ∫ 0 δ u U 1 - u U d y

θ = ∫ 0 δ 2 2 y δ 1 - 2 y δ d y + ∫ δ 2 δ 2 - 2 y δ + 2 - 1 1 - 2 - 2 y δ + 2 - 1 d y

Vamos fazer uma integral de cada vez porque ninguém é obrigado...

A primeira:

∫ 0 δ 2 2 y δ 1 - 2 y δ d y = ∫ 0 δ 2 2 y δ - 2 y δ 2 d y

= ∫ 0 δ 2 2 y δ - 2 y 2 δ 2 d y

= 2 y 2 2 δ - 2 y 3 3 δ 2 0 δ 2

= 2 δ 2 2 2 δ - 2 δ 2 3 3 δ 2

= 2 δ 2 8 δ - δ 3 12 δ 2

= 2 8 - 1 12 δ

Passo 5

A segunda:

∫ δ 2 δ 2 - 2 y δ + 2 - 1 1 - 2 - 2 y δ + 2 - 1 d y = ∫ δ 2 δ 2 - 2 y δ + 2 - 1 - 2 - 2 y δ + 2 - 1 2 d y

= ∫ δ 2 δ 2 - 2 y δ + 2 - 1 - 2 - 2 2 y 2 δ 2 - 2 2 - 1 2 - 2 y δ - 2 - 1 2 d y

= ∫ δ 2 δ 2 - 2 y δ + 2 - 1 - 6 - 4 2 y 2 δ 2 - 6 2 - 8 y δ - 3 - 2 2 d y

= ∫ δ 2 δ 3 2 - 4 + 10 - 7 2 y δ - 6 - 4 2 y 2 δ 2 d y

= 3 2 - 4 y + 10 - 7 2 y 2 2 δ - 6 - 4 2 3 y 3 δ 2 δ 2 δ

= 3 2 - 4 δ + 10 - 7 2 δ 2 2 δ - 6 - 4 2 3 δ 3 δ 2 - 3 2 - 4 δ 2 - 10 - 7 2 δ 2 2 2 δ + 6 - 4 2 3 δ 2 3 δ 2

= 3 2 - 4 δ + 10 - 7 2 δ 2 2 δ - 6 - 4 2 3 δ 3 δ 2 - 3 2 - 4 2 δ - 10 - 7 2 δ 2 8 δ + 6 - 4 2 24 δ 3 δ 2

= 3 2 - 4 + 5 - 7 2 - 2 + 4 2 3 - 3 2 2 + 2 - 5 4 + 7 2 8 + 1 4 - 2 6 δ

= 2 24 δ

Passo 6

Somando as duas integrais, ficamos com:

θ = 2 8 - 1 12 + 2 24 δ

θ = 2 6 - 1 12 δ

Então:

θ δ = 2 6 - 1 12

θ δ = 0,152

Resposta

δ * δ = 0,396

θ δ = 0,152

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