Enunciado

Aço é carburizado em um processo a alta temperatura que depende da transferência de carbono por difusão. O valor do coeficiente de difusão depende fortemente da temperatura e pode ser aproximado pela relação D C –   A m 2 s ≈   2   ×   10 - 5   e – 17 000 T K . Se o processo é conduzido a uma temperatura de 1000°C e uma fração molar de carbono de 0,02 é mantida na superfície do aço, quanto tempo é necessário para elevar o teor de carbono no aço de um valor inicial de 0,1% até um valor de 1,0%, a uma profundidade de 1 mm?

Passo 1

Falaaaaaa galerinha !!

Vamos seguindo?

Bom, o problema nos pediu para achar quanto tempo é necessário para elevar o teor de carbono no aço de um valor inicial de 0,1% até um valor de 1,0%, a uma profundidade de 1 mm, ok?

Bom, para começar nós vamos puxar da memória uma equação que descreve a transferência de calor em um meio semi-infinito com temperatura constante na superfície:

T x , t - T s T i - T s = erf ⁡ x 2 α t

Onde t é o tempo necessário para atingir T x , t a uma certa distância x , T s a temperatura na superfície, T i a temperatura inicial e α a difusividade térmica do aço.

Adaptando essa relação para a transferência de massa:

C A x , t - C A , s C A , i - C A , s = erf ⁡ x 2 D A B t

Adaptando e dividindo o numerador e denominador pela concentração total:

C A x , t C - C A , s C C A , i C - C A , s C = erf ⁡ x 2 D A B t

Lembrando que a fração molar é dada por:

C A , s C = x A

Então:

x A x , t - x A , s x A , i - x A , s = erf ⁡ x 2 D A B t

Passo 2

Vamos ver o que o problema nos disse?

x A x , t = 1 % = 0,01

x A , s = 0,02

x A , i = 0,1 % = 0,001

x = 1 × 10 - 3   m

O coeficiente de difusão o problema já nos disse que:

D C –   A = D A B = 2   ×   10 - 5   e – 17 000 T K

Quando:

T = 1000 ° C + 273 = 1273   K

Então:

D A B = 2 × 10 - 5   e – 17 000 1273 = 3,17 × 10 - 11 m 2 s

E agora nós vamos substituir:

0,01 - 0,02 0,001 - 0,02 = erf ⁡ 1 × 10 - 3 2 3,17 × 10 - 11 t

0,5263 = erf ⁡ 88,8 t

Agora nós vamos lá na Tabela B – 2 e fazer a interpolação para erf ⁡ w = 0,5263 :

w - 0,48 0,52 - 0,48 = 0,5263 - 0,50275 0,53790 - 0,50275

w = 0,5068

Então:

88,8 t = w = 0,5068

Resolvendo:

t = 30686,52   s

Transformando em horas:

t = 30686,52   s × 1 h 3600   s = 8,52   h

E fechamos com chave de ouro !!

Resposta

t = 8,52   h

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