Enunciado

Água a 15 0 C é drenada de um reservatório grande usando dois tubos horizontais de plástico conectados em série. O primeiro tubo tem 20 m de comprimento e diâmetro de 10 cm, enquanto o segundo tubo tem 35 m de comprimento e 4 cm de diâmetro. O nível da água no reservatório é de 18 m acima do eixo central do tubo. A entrada do tubo tem aresta viva, e a contração entre os dois tubos é repentina. Desprezando o efeito do fator de correção da energia cinética, determine a vazão de descarga da água do reservatório.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Primeiramente, para o problema, assumimos que:

1. O fluxo é constante e incompressível.

2. Os tubos são horizontais.

3. Os efeitos de entrada são insignificantes, e assim o fluxo é totalmente desenvolvido.

4. O fluxo é turbulento, de modo que o valor tabulado dos coeficientes de perda possa ser usado.

5. Os tubos não envolvem componentes como curvas, válvulas e outros conectores.

6. A seção de tubulação não envolve trabalho dispositivos como bombas e turbinas.

7. O reservatório está aberto para a atmosfera, de modo que a pressão é a pressão atmosférica na superfície livre.

8. O nível da água no reservatório permanece constante.

9. O efeito do fator de correção da energia cinética é insignificante, α = 1.

Do problema, temos:

z 1 = 18 m   ρ = 999,1   k g m 3   μ = 1,138 ⋅ 10 - 3 N s m     K L 1 = 0,5   a r e s t a   v i v a      

K L 2 = 0,46   c o n t r a ç ã o   r e p e n t i n a   |     D 2 = 5 c m       |       ε = 0   ( t u b o   d e   p l á s t i c o = l i s o )

Obs: propriedades da água à 15 0 C , Tabela A.3 do livro.

Passo 2

Para a avaliação da profundidade, diferença de pressão e/ou perda de carga, sempre necessitaremos lembrar da equação da perda de carga:

P 1 ρ ∙ g +   α 1 ∙ V 1 2 2 g + z 1 + h b o m b a =   P 2 ρ ∙ g +   α 2 ∙ V 2 2 2 g + z 2   +   h L                   ( 1 )

E tomamos o ponto 1 na superfície livre do reservatório e o ponto 2 na saída do tubo, que também é considerado o nível de referência ( z 2 = 0 ).

Observando que o fluido em ambos os pontos está aberto para a atmosfera (e, portanto, P 1 = P 2 = P a t m ), o nível de fluido no reservatório é constante ( V 1 = 0 ), e que não existem dispositivos de trabalho, como bombas e turbinas, a equação para um volume de controle entre esses dois pontos (em termos de cabeças) simplifica a:

z 1 = α 2 V 2 2 2 g + h L     ( 2 )

Onde a perda de carga é encontrada pela equação da perda de carga menor somado com a perda de carga maior, assim:

h L = ∑ f L D V 2 2 g + K L V 2 2 g                                 → h L = ∑ f L D + ∑ K L V 2 2 g               ( 3 )

Obs: Como há dois tubos para a saída do fluxo de água, a perda de carga será aplicada para cada tubo.

Observemos que os diâmetros dos dois tubos e, portanto, as velocidades de fluxo através deles são diferentes. Denotando o primeiro canal por 1 e o segundo tubo por 2, e usando a conservação de massa, a velocidade no primeiro tubo pode ser expressa em termos de V 2 como:

m ˙ 1 = m ˙ 2 → ρ V 1 A 1 = ρ V 2 A 2   →     V 1 = A 2 A 1 V 1 = D 2 2 D 1 2 V 2 = 4 c m 2 10 c m 2 V 2       →   V 1 = 0,16 V 2  

Passo 3

Sabendo a relação entre as velocidades, podemos agora encontrar a equação da perda de carga:

h L T o t a l = h L 1 + h L 2 = f 1 L 1 D 1 + K L 1 V 1 2 2 g + f 2 L 2 D 2 + K L 2 V 2 2 2 g

E substituindo os termos já sabidos, temos:

h L T o t a l = f 1 20 m 0,10 m + 0,5 V 1 2 2 ⋅ 9,81   m / s ² + f 2 35 m 0,04 m + 0,46 V 2 2 2 ⋅ 9,81   m / s ²

A vazão, o número de Reynolds, e o fator de atrito em cada tubo são expressos como:

V ˙ = V 2 A 2 = V 2 π D 2 2 4       → V ˙ = V 2 π 0,04 m 2 4

Agora, o número de Reynolds em cada tubo é expresso:

R e 1 = ρ V 1 D 1 μ                             → R e 1 = 99 9,1 k g / m ³ ⋅ V 1 ⋅ 0,0 1 m 1 , 138 ⋅ 10 - 3 k g / m s

R e 2 = ρ V 2 D 2 μ                                 → R e 2 = 99 9,1 k g / m ³ ⋅ V 2 ⋅ 0,0 4 m 1,002 ⋅ 10 - 3 k g / m s

E o fator de atrito em cada tubo é expresso como:

1 f 1 = - 2 ∙ log ⁡ e D 1 3,7 + 2,51 R e 1 ∙ f 1               → 1 f 1 = - 2 ∙ log ⁡ 2,51 R e 1 ∙ f 1

1 f 2 = - 2 ∙ log ⁡ e D 2 3,7 + 2,51 R e 2 ∙ f 2               → 1 f 2 = - 2 ∙ log ⁡ 2,51 R e 2 ∙ f 2

Então, podemos perceber que as correlações dependem das velocidades 1 e 2, para finalmente encontrarmos os valores das vazões em cada tanque.

Passo 4

Portanto, as equações formam um conjunto de equações simultâneas, nas quais podemos resolver iterativamente (por meio do excel, ou outra ferramenta computacional):

A solução utiliza a ferramenta Solve, que consiste em assumir valores iniciais para as velocidades 1 e 2, e o cálculo das demais variáveis ocorre, retornando a um novo valor das velocidades em 1 e 2.

Então, esse processo é feito até os valores das velocidades 1 e 2 supostas no início coincidirem com as do resultado final, ou com um erro bem pequeno.

Realizando esse processo no Excel na ferramenta descrita, encontramos que:

V 1 = 0,757 m s       ;       V 2 = 4,73 m s     ;         h L = 1 6,86   m           ;

R e 1 = 66 500               ;           R e 2 = 1662 00               ;             f 1 = 0,01 96                 ;             f 2 = 0,01 62

E

V ˙ = 0,0 0595 m 3 s

Obs: Os números de Reynolds respectivos estão na ordem de R e > 2300 , portanto a verificação se o regime é turbulento foi realizada.

Resposta

Portanto:

V ˙ = 0,00595 m 3 s

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