Enunciado

Considere o escoamento de um reservatório através de um tubo horizontal de comprimento L e diâmetro D que penetra na parede lateral a uma distância vertical H da superfície livre. A vazão através de um tubo real com seção reentrante ( K L = 0,8 ) será consideravelmente menor do que a vazão através do orifício calculada supondo um escoamento “sem atrito” e, portanto, perda zero. Obtenha uma relação para o “diâmetro equivalente” do tubo reentrante para uso nas relações de escoamento sem atrito através de um orifício e determine seu valor para um fator de atrito do tubo, comprimento e diâmetro de 0,018, 10 m e 0,04 m, respectivamente. Considere que o fator de atrito do tubo permaneça constante e que o efeito do fator de correção da energia cinética seja desprezível.

Passo 1

Vamos começar com as hipóteses a serem definidas para o problema:

  1. O escoamento é incompressível e permanente.
  2. A pressão na superfície livre é igual à pressão atmosférica.
  3. O nível da água permanece constante.
  4. O escoamento é completamente desenvolvido.
  5. O fator de atrito é constante e o efeito de do fator de correção de energia cinética ( α =1)

Vamos escolher dois pontos: o ponto 1 terá sua localização na superfície livre do reservatório e 2 na saída do tubo. A equação de energia para o volume de controle entre esses pontos é:

P 1 ρ g + α 1 V 1 2 2 g + z 1 + h b o m b a = P 2 ρ g + α 2 V 2 2 2 g + z 2 + h t u r b i n a + h L

Como P 1 = P 2 = P a t m e V 1 = 0 , além de definirmos o nível de referência em 2, logo z 2 = 0 , a equação de energia pode ser escrita como:

H = α 2 V 2 2 2 g + h L

Passo 2

Vamos analisar a equação de energia. Temos que α 2 = 1 e a perda de carga é dada por

h L = f L D + ∑ K L V 2 2 2 g = f L D + K L V 2 2 2 g  

Resolvendo assim para a velocidade em 2:

H = V 2 2 2 g +   f L D + K L V 2 2 2 g → V 2 = 2 g H 1 + f L / D + K L

Dessa forma, a vazão volumétrica no tubo pode ser expressa como

V ˙ = A V 2 = π D 2 4 2 g H 1 + f L / D + K L

Passo 3

Para o caso especial, que é o escoamento sem perdas e sem atrito, a velocidade na saída do tubo equivale a equação de Torricelli, V 2 s e m   a t r i t o = 2 g H . A vazão através do diâmetro equivalente é:

V ˙ = A e q V 2 s e m   a t r i t o = π D e q 2 4 2 g H

Igualando as duas equações para a vazão:

π D e q 2 4 2 g H = π D 2 4 2 g H 1 + f L / D + K L

D e q = D 1 + f L D + K L 1 4 = D 1 + 0,0018 ⋅ 10 0,04 + 0,8 1 4 = 0,63 D = 0,025 m

Resposta

D e q = 0,63 D = 0,025 m

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