Enunciado

A água é bombeada de um lago para um tanque de armazenamento 20   m acima a uma vazão de 70   L / s e consome 20,4   k W de energia elétrica. Desprezando as perdas por atrito nos tubos e todas as variações da energia cinética, determine (a) a eficiência geral da unidade bomba-motor e (b) a diferença de pressão entre a entrada e a saída da bomba.

Passo 1

O exercício pede para a gente calcular primeiro a eficiência da bomba combinada com o motor. Nós calculamos a eficiência de um equipamento dividindo o resultado desejado pelo consumo necessário.

E f i c i ê n c i a = R e s u l t a d o   d e s e j a d o C o n s u m o   n e c e s s á r i o

No caso do conjunto da bomba com o motor, o resultado desejado é o aumento da energia potencial da água do lago por segundo. Ela é elevada do lado até o tanque. Para isso, o motor dela consome 20,4   k W de energia elétrica a cada segundo.

E f i c i ê n c i a   d a   b o m b a = A u m e n t o   d a   e n e r g i a   p o t e n c i a l   d a   á g u a   p o r   s e g u n d o E n e r g i a   e l é t r i c a   c o n s u m i d a   p o r   s e g u n d o

O exercício já informou a energia elétrica consumida por segundo W ˙ m o t o r .

W ˙ m o t o r = 20,4   k W

Só precisamos calcular o aumento de energia potencial da água Δ E P ˙ . Para facilitar o cálculo de Δ E P ˙ , vamos chamar de ponto 1 o ponto onde a água do lago é sugada pela tubulação e de ponto 2 o ponto onde a água é despejada para o tanque.

O aumento de energia potencial Δ E P ˙ é a diferença entre o valor da energia potencial que a água passou a ter no ponto 2 e p 2 e o valor da energia potencial que a água tinha no ponto 1 e p 1 . As fórmulas das duas estão abaixo.

e p 1 = g ⋅ z 1

e p 2 = g ⋅ z 2

onde g é a aceleração da gravidade e vale 9,81   m / s 2 .

Vemos que essas energias dependem da altitude que a água tinha no lago z 1 e da altitude que a água passou a ter no tanque z 2 . Podemos medir a altura da água a partir do ponto 1 . Desse jeito, z 1 valeria:

z 1 = 0   m

A altitude z 2 é informada pelo enunciado.

z 2 = 20   m

Além disso, e p 1 e e p 2 são as energias potenciais por unidade de massa. Elas são medidas em joule por quilograma J / k g .

Isso quer dizer que precisamos achar a quantidade de massa m ˙ que passa pela bomba a cada segundo para conseguir calcular o aumento de energia total da água. Descobrimos m ˙ pela fórmula abaixo.

m ˙ = ρ ⋅ V ˙

V ˙ é o volume de água que passa pela bomba a cada segundo. Ele mede 70   L / s segundo o enuciado.

V ˙ = 70   L s       ⇒       V ˙ = 0,07   m 3 s

Para converter a quantidade de volume V ˙ para a quantidade de massa m ˙ , multiplicamos V ˙ pela massa específica da água ρ . Atenção! O exercício não fala quanto vale o ρ da água líquida a temperatura ambiente. Mas podemos considerar que ele vale 1000   k g / m 3 !

ρ = 1000   m 3 k g

A última etapa de cálculo da eficiência do conjunto da bomba com o motor η b o m b a - m o t o r é calcular o aumento de energia potencial da água Δ E P ˙ . A fórmula do aumento de energia potencial da água se encontra abaixo:

Δ E P ˙ = m ˙ ⋅ e p 2 - e p 1

O η b o m b a - m o t o r pode ser calculado com a seguinte fórmula:

η b o m b a = Δ E P ˙ W ˙ m o t o r

Agora vamos para o próximo passo de substituição dos valores que temos nas fórmulas que conhecemos.

Passo 2

A vazão m ˙ da água vale:

m ˙ = ρ ⋅ V ˙       ⟹       m ˙ = 1000 ⋅ 0,07       ⟹       m ˙ = 70   k g s

As energias potenciais da água são:

e p 1 = g ⋅ z 1       ⟹       e p 1 = 9,81 ⋅ 0       ⟹       e p 1 = 0   J k g

e p 2 = g ⋅ z 2       ⟹       e p 2 = 9,81 ⋅ 20       ⟹       e p 2 = 196,2   J k g

Substituindo esses valores na fórmula de aumento da energia potencial, vemos que ela vale:

Δ E P ˙ = m ˙ ⋅ e p 2 - e p 1   ⟹   Δ E P ˙ = 70 ⋅ 196,2 - 0 ⟹ Δ E P ˙ = 13734   W

Convertendo esse valor para quilowatt k W para ele ficar na mesma unidade de W ˙ b o m b a :

Δ E P ˙ = 13,7   k W

Colocando todos esses valores na fórmula de eficiência do conjunto da bomba com o motor η b o m b a - m o t o r , encontramos:

η b o m b a - m o t o r = Δ E P ˙ W ˙ m o t o r       ⟹       η b o m b a - m o t o r = 13,7 20,4       ⟹       η b o m b a - m o t o r = 67,2   %

Passo 3

Descobrimos que a bomba entrega 13,7   k W de energia a cada segundo para a água. Essa energia que a água ganha é convertida em pressão. Ou seja, a pressão da água aumenta conforme ela passa pela bomba. Por causa disso, existe uma fórmula de aumento de energia da água que depende da variação de pressão da água Δ P .

Além disso, o exercício diz que as perdas por atrito e a variação de energia cinética da água são desprezíveis. Isso significa que o aumento de pressão é o único tipo de variação de energia que a água sofre conforme passa pela tubulação e pela bomba. Em outras palavras, o aumento de energia da água, causado pela bomba, vai todo pro aumento de pressão da água Δ P .

Por isso, essa outra fórmula de aumento de energia por segundo Δ E P ˙ depende só da diferença de pressão entre a entrada e a saída da bomba Δ P e não da variação de velocidade da água. Podemos usar esse fato para achar o valor de Δ P que o exercício quer.

Δ E P ˙ = V ˙ ⋅ Δ P

Como já sabemos que Δ E P ˙ vale 13,7   k W , calculamos Δ P reorganizando a fórmula acima.

Δ P = Δ E P ˙ V ˙

Já temos todos os valores que precisamos! Agora vamos calcular Δ P !

Passo 4

Δ P = Δ E P ˙ V ˙       ⟹       Δ P = 13,7 0,07       ⟹       Δ P = 196   k P a

Resposta

a   η b o m b a = 67,2   %

b   Δ P = 196   k P a

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