Enunciado

Água descarrega para a atmosfera a partir de um grande reservatório através de um bocal horizontal de 25   m m de diâmetro, moderadamente arredondado. A superfície livre está 2,5   m acima do plano da saída do bocal. Calcule a variação na vazão quando um trecho curto de tubo de 50   m m de diâmetro é instalado na extremidade do bocal para formar uma expansão súbita. Determine a localização e estime o módulo da pressão mínima com a expansão súbita instalada. Se o escoamento fosse sem atrito (com a expansão súbita instalada), a pressão mínima seria maior, menor ou a mesma? A vazão seria maior, menor ou a mesma?

Passo 1

Equação de Bernoulli:

p 1 ρ + V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + V 2 2 2 + g z 2 + h l t

h l t = h l + h l m = f l D V 2 2 2 + K V 2 2 2

Considerações:

  1. Escoamento Estacionário;
  2. Fluido Incompressível;
  3. Escoamento Uniforme;
  4. V 1 = 0 ;
  5. z 2 = 0 ;
  6. p 1 = p a t m = 0 ;
  7. Escoamento Sem Atrito ( h l = f l D V 2 2 2 = 0 ) .

Passo 2

Fazendo as considerações do Passo 1, temos:

g z 1 - V 2 2 2 = K b o c a l V 2 2 2

Isolando V 2 :

V 2 = 2 g z 1 1 + K b o c a l

Sendo:

g = 9,8   m / s 2 ;

z 1 = 2,5   m ;

K b o c a l = 0,28   ( T a b e l a d o ) .

Temos:

V 2 = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 2,5 1 + 0,28 = 6,19   m / s

Sabemos que:

Q = V 2 A 2 = V 2 π D 2 2 4

Sendo:

D 2 = 25   m m = 0,025   m .

Temos:

Q = 6,19 ⋅ π ⋅ 0,025 2 4 = 3,04 x 10 - 3   m 3 / s

Passo 3

Quando adicionamos um tubo pequeno ao sistema entre os pontos 1 e 3, temos:

g z 1 - V 3 2 2 = K b o c a l V 2 2 2 + K e V 2 2 2

Aplicando o princípio da continuidade:

V 2 A 2 = V 3 A 3

V 3 = V 2 D 2 D 3 2

Substituindo na equação de Bernoulli:

g z 1 - V 2 2 D 2 D 3 4 2 = K b o c a l V 2 2 2 + K e V 2 2 2

Isolando V 2 :

V 2 = 2 g z 1 D 2 D 3 4 + K b o c a l + K e  

Sendo:

D 3 = 50   m m = 0,05   m ;

K e = 0,6   ( T a b e l a d o ) .

Temos:

V 2 = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 2,5 25 50 4 + 0,6 + 0,28   = 7,21   m / s

Sabemos que:

Q = V 2 A 2 = V 2 π D 2 2 4

Sendo:

D 2 = 25   m m = 0,025   m .

Temos:

Q = 7,21 ⋅ π ⋅ 0,025 2 4 = 3,54 x 10 - 3   m 3 / s

Passo 4

Variação na Vazão:

∆ Q = Q m á x - Q m í n Q m í n = 3,54 - 3,04 3,04 = 0,1645 = 16,45 %  

Passo 5

Determinando a pressão mínima com a expansão súbita instalada.

g z 1 - p 2 ρ + V 2 2 2 = K b o c a l V 2 2 2

Isolando p 2 :

p 2 = ρ g z 1 - V 2 2 2 K b o c a l + 1

Com ρ = 1000 k g / m 3 e substituindo os dados:

p 2 = 1000 ⋅ 9,8 ⋅ 2,5 - 7,21 2 2 0,28 + 1 = - 8,77   k P a

Passo 6

Se o escoamento fosse sem atrito, a equação:

V 2 = 2 g z 1 D 2 D 3 4 + K b o c a l + K e  

Se tornaria:

V 2 = 2 g z 1 D 2 D 3 4  

Desse modo, a velocidade aumentaria e a pressão diminuiria.

Resposta

∆ Q = 16,45 %  

p 2 = - 8,77   k P a

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