Enunciado

Analise o escoamento através de uma expansão súbita, aplicando as equações básicas a um volume de controle começando na expansão e terminando a jusante dela (admita que a pressão de entrada p 1 age sobre a área A 2 na expansão). Desenvolva uma expansão e trace um gráfico da perda de carga menor através da expansão como uma função da razão de áreas, e compare os dados da Fig. 8.15.

Passo 1

Equações:

  1. Massa:
  2. ∂ ∂ t ∫ V C ρ d ∀ + ∫ S C ρ V d A = 0

  3. Momento:
  4. F = F S + F B = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ d ∀ + ∫ S C V   ρ V d A

  5. Energia:

Q ˙ - W S ˙ - W ˙ c i s a l h a m e n t o - W ˙ o u t r o s = ∂ ∂ t ∫ V C e   ρ d ∀ + ∫ S C u + p v + V 2 2 + g z   ρ V d A

Considerações:

  1. Escoamento Estacionário;
  2. Fluido Incompressível;
  3. Escoamento Uniforme;
  4. Sem Ação de Forças de Corpo;
  5. Sem Trabalho;
  6. Sem Forças de Resistência;
  7. Ação da Gravidade Desprezada.

Passo 2

Realizando as considerações do Passo 1.

Para a Equação de Massa:

V 1 A 1 = V 2 A 2

Para a Equação de Momento:

p 1 A 1 - p 2 A 2 = V 1 ( - ρ V 1 A 1 ) + V 2 ( ρ V 2 A 2 )

Aplicando a Equação de Massa.

p 1 - p 2 = ρ V 1 V 2 - V 1 A 1 A 2

Para a Equação de Energia:

Q ˙ = u 1 + p 1 ρ + V 1 2 - ρ V 1 A 1 + u 2 + p 2 ρ + V 2 2 ρ V 2 A 2

Aplicando a Equação de Massa e sabendo que ρ V c A c = ρ V 2 A 2 = m ˙ .

h l m = u 2 - u 1 - Q ˙ m ˙ = V 1 2 - V 2 2 2 + p 1 - p 2 ρ

Combinando as equações obtidas da Equação do Momento e de Energia, temos:

h l m = V 1 2 - V 2 2 2 + V 1 V 2 - V 1 A 1 A 2

Rearranjando:

h l m = V 1 2 2 1 - V 2 V 1 2 + V 1 2 A 1 A 2 V 2 V 1 - 1

Passo 3

Temos que:

R A = A 1 A 2 = V 2 V 1

Substituindo na equação obtida no Passo 2:

h l m = V 1 2 2 ( 1 - R A 2 ) + V 1 2 R A ( R A - 1 )

h l m = V 1 2 2 ( 1 - R A 2 + 2 R A 2 - 2 R A )

h l m = V 1 2 2 1 - R A 2

Temos que:

h l m = K V 1 2 2 = 1 - R A 2 V 1 2 2

K = 1 - R A 2

Passo 4

Com a equação obtida, podemos traçar o gráfico da perda de carga menor através da expansão como uma função da razão de áreas e comparando os dados da Fig. 8.15.

Resposta

Discursiva

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