Enunciado

A água desce por um tubo vertical apenas por gravidade. O escoamento entre as posições verticais z 1 e z 2 é totalmente desenvolvido e os perfis de velocidade nessas duas posições estão representados na Figura P10-97. Como não há gradiente de pressão forçada, a pressão P é constante em todos os pontos no escoamento ( P   =   P a t m ). Calcule a pressão modificada nas posições z 1 e z 2 . Desenhe perfis de pressão modificada nas posições z 1 e z 2 . Discuta.

Passo 1

O problema quer saber quanto vale a pressão modificada P ' em dois planos: um plano que se encontra em z = z 1 e é perpendicular ao escoamento e outro plano que se encontra em z = z 2 que também é perpendicular ao escoamento. A figura abaixo mostra o que a questão quer e ar informações que ela nos oferece.

P 1 é a pressão absoluta nos pontos localizados em z = z 1 , P 2 é a pressão absoluta nos pontos localizados em z = z 2 , P 1 ' é a pressão modificada nos pontos localizados em z = z 1 , P 2 ' é a pressão modificada nos pontos localizados em z = z 2 , P a t m é a pressão atmosférica e g é a aceleração da gravidade.

Na próxima etapa nós vamos descobrir como usar essas informações para achar P 1 ' e P 2 ' .

Passo 2

A definição de pressão modificada P ' está na equação 10-7. Usando essa equação para z = z 1 e z = z 2 , achamos:

P 1 ' = P 1 + ρ ⋅ g ⋅ z 1

P 2 ' = P 2 + ρ ⋅ g ⋅ z 2

onde ρ é a densidade da água que está escoando no tubo.

No entanto, o enunciado diz que a pressão da água em todo escoamento é igual à pressão atmosférica P = P a t m . Substituindo P a t m em P 1 e P 2 , encontramos P 1 ' e P 2 ' .

P 1 ' = P 1 + ρ ⋅ g ⋅ z 1       ⟹       P 1 ' = P a t m + ρ ⋅ g ⋅ z 1

P 2 ' = P 2 + ρ ⋅ g ⋅ z 2       ⟹       P 2 ' = P a t m + ρ ⋅ g ⋅ z 2

Passo 3

Como o valor da coordenada z é igual para todo o plano localizado em z = z 1 , percebemos que a pressão modificada P 1 ' é igual em todos os pontos desse plano.

O mesmo vale para o plano localizado em z = z 2 . A pressão modificada P 2 ' é constante em todos os pontos desse plano.

A figura abaixo mostra os perfis de pressão modificada P 1 ' e P 2 ' .

Resposta

P 1 ' = P a t m + ρ ⋅ g ⋅ z 1

P 2 ' = P a t m + ρ ⋅ g ⋅ z 2

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