Enunciado

A água entra em uma bomba centrífuga de forma axialmente à pressão atmosférica, a uma taxa de 0,12   m 3 / s e a uma velocidade de 7   m / s , e sai na direção normal ao longo da carcaça da bomba, como mostra a Figura P6-37. Determine a força que age sobre o eixo (que também é a força que age sobre o rolamento do eixo) na direção axial.

Passo 1

O problema quer saber o valor da força resultante F R x que age sobre o eixo da bomba. Para descobrir isso, precisamos primeiro determinar o volume de controle que estudaremos. Como queremos informações sobre o eixo da bomba, vamos considerar que o volume de controle é a reião do espaço que engloba a bomba. A figura abaixo mostra isso.

V ˙ é a vazão volumétrica de água através da bomba, V 1 é a velocidade da água que entra no volume de controle e V 2 é a velocidade da água que sai do volume de controle.

No próximo passo, aprenderemos a calcular F R x .

Passo 2

Para encontrar uma expressão para a força F R x , temos que usar a segunda lei de Newton (equação da quantidade de movimento) para escoamentos em regime permanente. Segue abaixo a equação da segunda lei para o volume de controle.

∑ F x = m ˙ ⋅ β ⋅ V 2 , x - β ⋅ V 1 , x

onde ∑ F x é o somatório de todas as forças que atuam no eixo x , m ˙ é a vazão mássica do líquido que passa pelo volume de controle e β é o fator de correção do escoamento. O fator de correção β para escoamentos turbulentos é próximo de 1 . Como o escoamento através de bombas é geralmente turbulento, podemos admitir que β vale 1 .

β = 1

V 1 , x é a componente horizontal da velocidade da água entrando no volume de controle. Como a água entrando no volume de controle só possui uma velocidade horizontal V 1 , V 1 , x vale:

V 1 , x = V 1

V 2 , x é a componente horizontal da velocidade da água saindo do volume de controle. Como a água saindo do volume de controle só possui velocidade vertical, sua componente horizontal, vale:

V 2 , x = V 2

Passo 3

Neste momento, precisamos lembrar que ∑ F x é a força resultante que age sobre o eixo x . Logo:

∑ F x = - F R x

O sinal de menos é porque o sentido da força F R x é da direita pra esquerda.

Para fechar, a vazão mássica m ˙ de um escoamento incompressível é a multiplicação entre a vazão volumétrica V ˙ e a densidade ρ . Como o escoamento através da bomba é de líquido e o líquido é aproximadamente incompressível, podemos considerar esse escoamento incompressível. Por isso:

m ˙ = ρ ⋅ V ˙

A densidade da água líquida ρ a pressão atmosférica vale aproximadamente 1000   k g / m 3 .

Substituindo tudo isso na segunda lei:

∑ F x = m ˙ ⋅ β ⋅ V 2 , x - β ⋅ V 1 , x     ⟹   - F R x = ρ ⋅ V ˙ ⋅ 1 ⋅ 0 - 1 ⋅ V 1

F R x = ρ ⋅ V ˙ ⋅ V 1

Passo 4

Substituindo todos os dados na fórmula de F R x , encontramos:

F R x = ρ ⋅ V ˙ ⋅ V 1       ⟹       F R x = 1000 ⋅ 0,12 ⋅ 7       ⟹       F R x = 840   N

Resposta

F R x = 840   N

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