Enunciado

Água entra em um canal bidimensional de largura constante, h = 75,5   m m , com velocidade uniforme, U . O canal faz uma curva de 90 º que distorce o escoamento de modo a produzir, na saída, o perfil linear de velocidade mostrado com υ m á x = 2 υ m í n . Avalie υ m í n , se U = 7 , 5 m / s .

Passo 1

Primeiro nó temos que selecionar s superfície de controle a ser estudada. Aqui nós selecionamos a superfície que está pontilhada.

Passo 2

A segunda coisa a ser feita, é encontrar um perfil de velocidade na seção 2 da superfície de controle. Sabemos que o perfil é linear, pois foi dito no enunciado. Logo, o perfil tem a cara de uma função de primeiro grau:

v x = a x + b

Temos então que encontrar quem é a e quem é b . Podemos fazer isso com os dados fornecidos no desenho. Quando o x = 0 , a velocidade na seção 2 é v m á x . Escrevendo isso matematicamente:

v 0 = a × 0 + b = v m á x

b = v m á x

Foi dito que v m á x = 2 v m i n , então podemos dizer que:

b = 2 v m i n

Agora usamos o outro dado da extremidade, onde, quando o x = h , a velocidade na seção 2 é v m i n . Escrevendo isso matematicamente:

v h = a × h + 2 v m i n = v m i n

a × h = - v m i n

a = - v m i n h

Assim temos que o perfil de velocidade será o seguinte:

v x = - v m i n h x + 2 v m i n

v x = 2 - x h v m i n

Passo 3

Agora, podemos aplicar a equação de conservação da massa ao volume de controle:

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ + ∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = 0

Em que C V é o volume de controle,  ρ é a densidade do fluido,  é o volume do fluido,  S C é a superfície de controle,  V → é o vetor de velocidade,  A → é a área da seção transversal do fluxo.

Podemos fazer as seguintes suposição:

O fluxo é constante e incompressível.

O volume de controle é constante.

Regime é permanente.

Portanto, podemos eliminar a densidade da equação, e como não depende do tempo o primeiro termo da equação também pode ser eliminado.

Assim, a equação da conservação de massa reduz-se a:

∫ S C   V → ⋅ d A → = 0

Passo 4

Podemos expandir a equação acima para as seções 1 e 2.

∫ 1   V 1 → ⋅ d A 1 → + ∫ 2   V 2 → ⋅ d A 2 → = 0

Precisamos agora examinar as direções dos vetores. Na seção 1 o vetor de área e velocidade agem em sentidos opostos, logo, o resultado do produto escalar é negativo. Na seção 2 o vetor velocidade a área agem no mesmo sentido, logo, o produto escalar é positivo. Portanto:

- ∫ 1   V 1 d A 1 + ∫ 2   V 2 d A 2 = 0

Nos foi dado que V 1 tem velocidade uniforme igual a U . Temos que d A 1 pode ser escrito como h d y e que d A 2 pode ser escrito como h d x . Para V 2 , nós encontramos o perfil de velocidade. Assim ao substituirmos na equação e integrando de 0 a h , temos:

- ∫ 0 h U h d y + ∫ 0 h 2 - x h v m i n   h d x = 0

- U h ∫ 0 h d y + v m i n   h ∫ 0 h 2 - x h d x = 0

- U h y 0 h + v m i n   h 2 x - x 2 2 h 0 h = 0

- U h 2 + v m i n   h 2 h - h 2 = 0

- U h 2 + v m i n   h 3 h 2 = 0

- U h 2 + 3 h 2 2 v m i n = 0

3 h 2 2 v m i n = U h 2

v m i n = 2 U h 2 3 h 2

v m i n = 2 U 3

Substituindo U por 7,5   m / s que foi dado no enunciado, vamos encontrar v m i n .

v m i n = 2 × 7,5   m / s 3

v m i n = 5   m / s

Assim, a velocidade mínima é  5   m / s .

Resposta

v m i n = 5   m / s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Como será discutido nos capítulos 7 e 8, o escoamento de uma corrente U o sobre uma placa plana normal cria uma grande esteira de baixa velocidade atrás da placa. Um modelo simples é dado pela figura
De acordo com o teorema de Torricelli, a velocidade de um fluido escoando por um orifício em um tanque é V ≈ 2 g h 1 2 , em que h é a altura da água acima do orifício. Considere que o orifício tenha u
Um motor de foguete opera em regime permanente como mostra a figura abaixo. Os produtos da combustão que escoam através do bocal de descarga aproximam-se de um gás perfeito com peso molecular de 28. P
Água a 20°C escoa em regime permanente através a bifurcação de tubulação mostrada na figura a seguir, entrando na seção 1 com 76 L/min. A velocidade média na seção 2 é de 2,5 m/s. Uma porção do escoam
Em contraste com o foguete de combustível líquido da questão anterior, o foguete com propelente sólido abaixo é autocontido e não possui dutos de entrada. Aplicando uma análise de volume de controle p