Enunciado

Água é drenada de um tanque cilíndrico, de 0,3   m de diâmetro, através de um orifício no fundo do tanque. No instante em que a profundidade da água é 0,6   m , a vazão em massa observada no dreno é 4   k g / s . Determine a taxa de variação do nível da água nesse instante.

Passo 1

Podemos fazer um esboço do volume de controle do tanque, como mostrado.

Passo 2

Podemos aplicar a equação da conservação de massa para o volume de controle.

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ + ∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = 0

Aqui,  ∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ é a taxa de aumento de massa no volume de controle e  ∫ S C   ρ V → ⋅ d A → o influxo líquido de massa. Podemos reescrever e equação da conservação de massa da seguinte maneira:

∂ ∂ t ρ ∀ + ρ V 1 A 1 = 0

Como o fluido é incompressível, ρ não varia com o tempo, assim temos:

ρ ∂ ∂ t ∀ = - ρ V 1 A 1

Temos a seguinte relação:

m 1 ˙ = ρ V 1 A 1

Onde m 1 ˙ é a vazão mássica. Substituindo temos:

ρ ∂ ∂ t ∀ = - m 1 ˙

O volume pode ser escrito como ∀ = π D 2 4 h . Assim podemos dizer que:

ρ ∂ ∂ t π D 2 4 h = - m 1 ˙

Somente h varia no tempo, logo:

ρ π D 2 4 × ∂ h ∂ t = - m 1 ˙

∂ h ∂ t = - 4 m 1 ˙ ρ π D 2

Passo 3

Para determinar a taxa de variação do nível da água, basta usamos a equação encontrada no passo anterior. Aqui,  m 1 ˙ é a taxa de fluxo mássico de água do tanque, a  ρ densidade da água,  D é o diâmetro do tanque e ∂ h ∂ t é a taxa de variação do nível da água. Substituindo pelos valores fornecidos no enunciado temos:

m 1 ˙ = 4   k g / s

ρ = 999   k g / m 3

D = 0,3   m

∂ h ∂ t = - 4 × 4   k g / s π 999   k g / m 3 0,3   m 2

∂ h ∂ t = - 0,0567   m / s

∂ h ∂ t = - 56 , 7   m m / s

Sinal negativo indica que o nível da água diminui no tanque. Portanto, a taxa de alteração do nível da água no tanque neste momento é  56,7   m m / s .

Resposta

∂ h ∂ t = - 56,7   m m / s

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