Enunciado

Água entra em um canal largo e plano, de altura 2h, com uma velocidade de 2,5   m / s . Na saída do canal, a distribuição de velocidades é dada por

u u m á x = 1 - y h 2

em que y é medido a partir da linha de centro do canal. Determine a velocidade, u m á x , na linha de centro na saída do canal.

Passo 1

Para resolver essa questão, precisamos aplicar a equação de continuidade sobre um volume de controle.

∂ ∂ t ∫ C V   ρ d ∀ + ∫ C S   ρ V → ⋅ d A → = 0

Aqui, ρ é a densidade, é o volume, V é a velocidade e d A → é a mudança na área da seção transversal.

Passo 2

Como o fluxo no canal é constante, o termo derivado do tempo na equação de continuidade é igual a zero. Assim ficamos da seguinte forma:

∫ C S   ρ V → ⋅ d A → = 0

Como a densidade é constante, nós podemos tirar ela da equação, visto que posteriormente ela irá se cancelar. Assim ficamos da seguinte maneira:

∫ C S   V → ⋅ d A → = 0

Para esse volume de controle, podemos escrever da seguinte forma:

∫ C S   V 1 → ⋅ d A → + ∫ C S   V 2 → ⋅ d A → = 0

Na entrada, a velocidade é uniforme e V 1 → e d A → tem direções opostas, de modo que a equação pode ser dada por:

- V 1 A 1 + ∫ C S   V 2 → ⋅ d A → = 0

Passo 3

Na saída, nós podemos escrever a velocidade em função de u da seguinte forma:

V 2 → = u i ^

Onde u é a distribuição de velocidade na saída do canal.

Podemos também, escrever a área da seção transversal como:

d A 2 → = w ( d y ) i ^

Passo 4

Com a equação da continuidade

- V 1 A 1 + ∫ C S   V 2 → ⋅ d A 2 → = 0

Podemos substituir os valores dados no enunciado e os que encontramos da seguinte maneira:

V 1 → = 2 , 5   m / s

A 1 → = w 2 h

V 2 → = u m á x 1 - y h 2

d A 2 → = w ( d y )

Assim temos:

- 2 , 5 ⋅ w 2 h + ∫ C S   u m á x 1 - y h 2 ⋅ w ( d y ) = 0

Passo 5

Podemos agora resolver a equação acima da seguinte forma:

- 2 , 5 ⋅ w 2 h + ∫ C S   u m á x 1 - y h 2 ⋅ w ( d y ) = 0

u m á x w ∫ C S   1 - y h 2 d y = 2 , 5 ⋅ w 2 h

u m á x = 5 h ∫ C S   1 - y h 2 d y

Passo 6

Podemos encontrar u m á x integrando ∫ C S   1 - y h 2 d y de - h até h .

∫ - h h 1 - y h 2 d y = y - 1 h 2 y 3 3 - h h = h - 1 h 2 h 3 3 - - h - 1 h 2 - h 3 3

∫ - h h 1 - y h 2 d y = h - h 3 - - h + h 3 = h - h 3 + h - h 3 = 4 h 3

∫ - h h 1 - y h 2 d y = 4 h 3

Substituindo o resultado da integração na equação de u m á x encontrada no passo 5 temos:

u m á x = 5 h 4 h 3

u m á x = 15 4

u m á x = 3,75   m / s

Portanto a velocidade da linha central de saída é 3,75   m / s .

Resposta

u m á x = 3,75   m / s

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