Enunciado

No escoamento incompressível através do dispositivo mostrado, as velocidades podem ser consideradas uniformes em todas as seções de entrada e de saída. As seguintes condições são conhecidas: A 1 = 0,1   m 2 , A 2 = 0,2   m 2 , A 3 = 0,15   m 2 , V 1 = 10 e - t 2   m / s e V 2 = 2 cos ⁡ 2 π t   m / s ( t em segundos). Obtenha uma expressão para a velocidade na seção 3 e trace um gráfico de V 3 como uma função do tempo. Em que instante V 3 torna-se zero pela primeira vez? Qual é a vazão volumétrica total média na seção 3 ?

Passo 1

Nos foi dado no enunciado que:

A 1 = 0,1   m 2

V 1 = 10 e - t 2   m / s

A 2 = 0,2   m 2

V 2 = 2 cos ⁡ 2 π t   m / s

A 3 = 0,15   m 2

Passo 2

Temos que considerar que o regime é permanente, o fluido é incompressível, e a velocidade em cada entrada e saída é uniforme. Assim, temos que a equação da continuidade se torna a seguinte:

∑ V → ⋅ A → = 0

Considerando o dispositivo mostrado temos o seguinte:

V 1 → ⋅ A 1 → + V 2 → ⋅ A 2 → + V 3 → ⋅ A 3 → = 0

Passo 3

Temos também que examinar a cada termo da equação acima e as direções dos vetores. Em 1 o vetor velocidade e o vetor área agem em direções opostas.

Portanto, o sinal de V 1 → ⋅ A 1 → é negativo. Assim V 1 → ⋅ A 1 → = - V 1 A 1 .

Passo 4

Em 2 o vetor velocidade e o vetor área agem em direções opostas.

Portanto, o sinal de V 2 → ⋅ A 2 → é negativo. Assim V 2 → ⋅ A 2 → = - V 2 A 2 .

Passo 5

Em 3 o vetor velocidade e o vetor área agem na mesma direções.

Portanto, o sinal de V 3 → ⋅ A 3 → é positivo. Assim V 3 → ⋅ A 3 → = V 3 A 3 .

Passo 6

Assim, temos que a equação da continuidade fica da seguinte forma:

- V 1 A 1 - V 2 A 2 + V 3 A 3 = 0

Queremos encontrar uma expressão para V 3 , então podemos rescrever o equação da seguinte forma:

V 3 A 3 = V 1 A 1 + V 2 A 2

V 3 = V 1 A 1 + V 2 A 2 A 3

Podemos agora substituir os dados fornecidos no enunciado.

V 3 = 10 e - t 2   m / s ⋅ 0,1   m 2 + 2 cos ⁡ 2 π t   m / s ⋅ 0,2   m 2 0,15   m 2

V 3 = 6,667 e - t 2 m s + 2,667 cos ⁡ 2 π t m s

V 3 = 6,667 e - t 2 + 2,667 cos ⁡ 2 π t m s

Passo 7

Usando a expressão acima, o gráfico de V 3 em função do tempo ( t ) ficou da seguinte maneira.

Passo 8

A partir do gráfico, podemos observar que V 3 se torna zera a primeira vez quando t é igual a 2,2388 segundos.

Passo 9

Podemos calcular o fluxo volumétrico médio com a seguinte expressão:

Q = ∫ 0 ∞ V 3 A 3 d t

Q = ∫ 0 ∞ 6,667 e - t 2 + 2,667 cos ⁡ 2 π t ⋅ 0,15   d t

Q = ∫ 0 ∞ e - t 2 + 0,4 cos ⁡ 2 π t d t

Q = - 2 e - t 2 + 0,4 2 π sen ⁡ 2 π t   0 ∞

Q = lim t → ∞ ⁡ - 2 e - t 2 + 0,4 2 π sen ⁡ 2 π t   - - 2

Quando limite tende ao infinito, o termo entre - 2 e - t 2 + 0,4 2 π sen ⁡ 2 π t   tende a zero. Assim, temos que:

Q = 2   m 3 / s

Portanto o fluxo volumétrico médio é 2   m 3 / s .

Resposta

V 3 = 6,667 e - t 2 + 2,667 cos ⁡ 2 π t m s

t = 2,2388   s

Q = 2   m 3 / s

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