Enunciado

A água escoa e é descarregada de uma seção de tubo em U, como mostra a Figura . No flange (1), a pressão absoluta total é 200 kPa e 30 kg/s escoam para dentro do tubo. No

flange (2), a pressão total é 150 kPa. No local (3), 8 kg/s de água são descarregados para a atmosfera, que está a 100 kPa. Determine as forças totais x e z nos dois flanges que conectam o tubo. Discuta o significado da força da gravidade para este problema. Tome o fator de correção do fluxo do momento como 1,03.

Passo 1

Pra começar, vamos pegar o desenho do enunciado e montar um esqueminha com as forças que estão agindo nesse problema!!

Nesse caso a gente tem um escoamento bidimensional, vamos consideirar o eixo x   e o eixo z . Temos aqui um A equação do momento do escoamento unidimensional permanente:

∑ F → = ∑ s a i d a β m ˙ V → - ∑ e n t r a d a β m ˙ V →

Ué, mas se a equação é para um escoamento unidimensional e o nosso é bidimensional, como a gente vai fazer?!

Calminha! A gente vai usar essa expressão duas vezes, uma para cada dimensão! Vai ficar assim:

F R x + P 1 A 1 + P 2 A 2 = β m ˙ 2 ( - V 2 ) - β m ˙ 1 V 1  

F R z + 0 = β m ˙ 3 V 3 - 0

Belezinha!?

Com as informações que o enunciado deu, conseguimos calcular as velocidades em 1 , 2 , 3 . Lembrando que sim, mesmo sendo apenas um escoamento e ele sendo permanente, as velocidades nesses pontos vão ser diferentes, pois os diâmetros são diferentes! Para calcular essas velocidades vamos usar:

V = m ˙ ρ A = m ˙ ρ π D 2 4

Depois de calcular as velocidades é só colocar todas as informações nas fórmulas e calcular!!

Ahh, lembrando de converter as unidades:

D 1 = 10   c m × 1 10 2 m c m = 0,1   m  

D 2 = 5   c m × 1 10 2 m c m = 0,05   m

D 1 = 3   c m × 1 10 2 m c m = 0,03   m

E as pressões na fórmula são manométricas, o enunciado deu a pressão absoluta, logo vamos precisar subtrair a pressão em cada ponto pela pressão manométrica, beleza??

Passo 2

Vamos calcular as velocidades:

V 1 = 30 1000 π 0,05 2 4 = 15,3   m / s

V 2 = 22 1000 π 0,10 2 4 = 2,80   m / s

V 3 = 8 1000 π 0,03 2 4 = 11,3   m / s

Agora podemos calcular as forças, começando por F R x :

F R x + P 1 A 1 + P 2 A 2 = β m ˙ 2 ( - V 2 ) - β m ˙ 1 V 1  

Vamos dar uma arrumadinha:

F R x = - P 1 A 1 - P 2 A 2 + β ( m ˙ 2 V 2 + m ˙ 1 V 1 )

Agora é substituir, repara bem que na pressão P 1 e P 2 a gente ta diminuindo a pressão atmosférica, que é P a t m = 100   k P a .

F R x = - 200 - 100 × π 0,05 2 4 - 150 - 100 × π 0,10 2 4 - 1,03 22 × 2,80 + 30 × 15,3

F R x = - 0,733   k N

Ou:

F R x = - 733   N  

Esse sinal negativo ai siguinifica que na hora que a gente montou nosso esqueminha a gente assumiu as direções erradas de entrada e saída do escoamento!!

Agora vamos calcular F R z :

F R z + 0 = β m ˙ 3 V 3 - 0

Arrumando:

F R z = β m ˙ 3 V 3

Substituindo e calculando:

F R z = 1,03 × 8 × 11,3 = 93,1   N

F R z = 93,1   N

Prontinho!!

Resposta

F R x = - 733   N  

F R z = 93,1   N

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