Enunciado

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Considere novamente o regador do Problema 4.188. Deduza uma equação diferencial para a sua velocidade angular como uma função do tempo. Avalie a velocidade de rotação em regime permanente, considerando que não haja atrito no pivô.

Passo 1

Equação

r × F s + ∫ V C r × g ρ d ∀ + T e i x o - ∫ V C r × 2 ω × V + ω × ω × r + ω × r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C r × V ρ d ∀ + ∫ S C r × V   ρ V d A

Considerações Iniciais:

  1. Fluxo Constante;
  2. Escoamento Uniforme;
  3. Escoamento Estacionário;
  4. Sem Atrito;

Passo 2

Dados:

R = 225   m m = 0,225   m ;

Q = 15   L / m i n = 0,00025 m 3 / s ;

A = π d 2 4 = π 0,005 2 4 = 1,96 x 10 - 5   m 2 ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

V = Q 2 A = 6,37   m / s .

Passo 3

Realizando as considerações apresentadas no Passo 1, temos:

- ∫ V C r × g ρ d ∀ - ∫ V C r × 2 ω × V ρ d ∀ = ∫ S C r × V   ρ V d A

Substituindo r × g = r × r × α = r 2 α :

- ∫ V C r × 2 ω × V + r × α ρ d ∀ = ∫ S C r × V   ρ V d A

Integrando:

- ω R 2 V + α R 3 3 ρ A = R V ρ Q 2  

α = 3 V A R 2 - ω A R - Q 2

Passo 4

Avalie a velocidade de rotação em regime permanente, considerando que não haja atrito no pivô.

Quando α = 0 :

3 V A R 2 - ω A R - Q 2 = 0

ω A R = - Q 2

ω = - Q 2 A R

Substituindo os dados:

ω = - 0,00025 2 ⋅ 1,96 x 10 - 5 ⋅ 0,225 = - 28,3   r a d / s

r a d s = 9,55   r p m

ω = - 2 70   r p m

Resposta

ω = - 270   r p m

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