Enunciado

Água a 10 ° C escoa sobre uma placa plana a uma velocidade de 0,8   m / s . A placa tem   0,35   m de comprimento e 1   m de largura. A camada limite sobre cada face da placa é laminar. Considere que o perfil de velocidade pode ser aproximado como linear. Determine a força de arrasto sobre a placa.

Passo 1

Precisamos achar a força de arrasto total nas duas faces da placa.

O enunciado fala que temos um perfil de velocidade linear:

u U = y δ

E também dá outras informações:

- comprimento da placa: L = 0,35   m

- largura: b = 1   m

- velocidade de corrente livre: U = 0,8   m / s

- água a 10 ° C : ρ = 1000 k g / m 3 e μ = 1,3 ⋅ 10 - 3 N ⋅ s / m

Vamo começar!

Passo 2

A força em dos lados da placa pode ser calculada assim:

F D = ∫ τ w d A

A gente pode dizer que:

τ w = μ d u d y ,   y = 0

Usando o perfil linear de velocidade:

τ w = μ U δ

A gente pode usar isso na integral, mas o problema é: Quem é δ ?

Passo 3

Podemos usar a equação integral da quantidade de movimento:

τ w ρ = d U 2 θ d x + δ * U d U d x

Considerando U = c o n s t a n t e :

τ w ρ = d U 2 θ d x

Substituindo nosso τ w na equação integral: μ ρ δ = d U θ d x

Passo 4

Aí a gente precisa lembrar que:

θ = ∫ 0 δ u U 1 - u U d y

θ = ∫ 0 δ y δ 1 - y δ d y = ∫ o δ y δ - y 2 δ 2 d y = δ 2 2 δ - δ 3 3 δ 2 = δ 6

Aí substituindo na nossa equação:

μ ρ δ = U 6 d δ d x

Passo 5

Isso é uma equação diferencial separável, então vamos separar as variáveis e resolver:

μ ρ δ = U 6 d δ d x

δ d δ = 6 μ d x U ρ

∫ δ d δ = ∫ 6 μ d x U ρ ∴ δ 2 2 = 6 μ x U ρ + C

Ih como a gente acha esse C aí? A gente pode assumir que em x = 0 , δ = 0 .

Resolvendo esse PVI, a gente vê que C = 0

Então:

δ 2 2 = 6 μ x U ρ

Isolando δ :

δ = 12 μ x U ρ

Passo 6

Achamos δ , vamos voltar para integral:

F D = ∫ τ w d A

τ w = μ U δ ∴ τ w = μ U U ρ 12 μ x

Podemos dizer que:

d A = b d x

0 < x < L

Aí nossa integral fica assim:

F D = ∫ 0 L μ U U ρ 12 μ x b d x = b μ U 3 ρ L 3

Passo 7

Só falta substituir os dados do enunciado agora. Lembrando que queremos a força nas duas faces, então multiplicamos o valor da integral por 2:

2 F D = 2 b μ U 3 ρ L 3

2 F D = 2 ⋅ 1 ⋅ 1,3 ⋅ 10 - 3 ⋅ 0,8 3 ⋅ 1000 ⋅ 0,35 3 = 0,557   N

Resposta

0,557   N

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