Enunciado

Para as condições de escoamento do Problema 9.50, desenvolva uma expressão algébrica para a variação da tensão de cisalhamento na parede com a distância ao longo da superfície. Integre para obter uma expressão algébrica para o arrasto total de atrito superficial. Avalie o arrasto para as condições dadas.

Passo 1

Precisamos achar uma relação τ w e x e usar ela na integral:

F D = ∫ τ w d A

Para achar a expressão da força de arrasto.

O enunciado fala que temos um perfil de velocidade linear:

u U = y δ

E também dá outras informações:

- comprimento da placa: L = 0 , 8   m

- largura: b = 1 , 9   m

- velocidade de corrente livre: U = 5,3   m / s

- ar-padrão: ρ = 1,21 k g / m 3 e μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m

Vamo começar!

Passo 2

A gente pode dizer que:

τ w = μ d u d y ,   y = 0

Usando o perfil linear de velocidade:

τ w = μ U δ

A gente pode usar isso na integral, mas o problema é: Quem é δ ?

Passo 3

Podemos usar a equação integral da quantidade de movimento:

τ w ρ = d U 2 θ d x + δ * U d U d x

Considerando U = c o n s t a n t e :

τ w ρ = d U 2 θ d x

Substituindo nosso τ w na equação integral: μ ρ δ = d U θ d x

Passo 4

Aí a gente precisa lembrar que:

θ = ∫ 0 δ u U 1 - u U d y

θ = ∫ 0 δ y δ 1 - y δ d y = ∫ o δ y δ - y 2 δ 2 d y = δ 2 2 δ - δ 3 3 δ 2 = δ 6

Aí substituindo na nossa equação:

μ ρ δ = U 6 d δ d x

Passo 5

Isso é uma equação diferencial separável, então vamos separar as variáveis e resolver:

μ ρ δ = U 6 d δ d x

δ d δ = 6 μ d x U ρ

∫ δ d δ = ∫ 6 μ d x U ρ ∴ δ 2 2 = 6 μ x U ρ + C

Ih como a gente acha esse C aí? A gente pode assumir que em x = 0 , δ = 0 .

Resolvendo esse PVI, a gente vê que C = 0

Então:

δ 2 2 = 6 μ x U ρ

Isolando δ :

δ = 12 μ x U ρ

Passo 6

Achamos δ , vamos voltar para integral:

F D = ∫ τ w d A

τ w = μ U δ ∴ τ w = μ U U ρ 12 μ x

τ w = μ 2 U 3 ρ 12 μ x ⋅ μ x μ x = 0,289 μ U x R e x

Conseguimo achar τ w ( x ) . Uhul!

E podemos dizer que:

d A = b d x

0 < x < L

Aí nossa integral fica assim:

F D = ∫ 0 L μ U U ρ 12 μ x b d x = b μ U 3 ρ L 3

Passo 7

Só falta substituir os dados do enunciado agora.

F D = b μ U 3 ρ L 3

F D = 1,9 ⋅ 1,81 ⋅ 10 - 5 ⋅ 5,3 3 ⋅ 1,21 ⋅ 0,8 3 = 0 , 056   N

Resposta

τ w = 0,289 μ U x R e x

F D = 0,056   N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A seção de teste quadrada de um pequeno túnel de vento de laboratório tem lados com extensão W=40c m . Em um local de medição, as camadaslimite turbulentas sobre as paredes do túnel têm espessuras δ 1
9.11 Uma aproximação para o perfil de velocidade em uma camada-limite laminar é u U = 3 2 y δ - 1 2 y δ 3 Esta expressão satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da camada-
9.12 Uma aproximação para o perfil de velocidade em uma camada-limite laminar é u U = 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4 Esta expressão satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da cam
9.13 Um modelo simplificado para camada-limite laminar é u U = 2 y δ 0y ≤ δ 2 u U = 2 - 2 y δ + 2 - 1 δ 2y ≤ δ Esta expressão satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da ca
Usando resultados numéricos da solução exata de Blasius para escoamento laminar da camada-limite sobre uma placa plana, trace o perfil de velocidade adimensional, u / U (na abscissa), como uma função