Enunciado

Água escoa por uma torneira de cozinha de 1,25 cm de diâmetro com vazão de 0,1 L/s. O fundo da pia está 45 cm abaixo da saída da torneira. A área da seção transversal da corrente de água aumentará, diminuirá ou permanecerá constante entre a saída da torneira e o fundo da pia? Explique sucintamente. Obtenha uma expressão para a área da seção transversal da corrente como uma função da distância y acima do fundo da pia. Se uma placa for mantida sob a torneira na posição horizontal, como variará a força requerida para segurar a placa com a altura da placa acima da pia? Explique sucintamente.

Passo 1

Tá legal, para começar vamos encontrar a velocidade com que a água sai da torneira usando a vazão fornecida, então temos:

Q = v A → v = Q A = Q π D 2 4 = 0,1.10 - 3 π 1,25.10 - 2 2 4 → v = 0,815   m / s

Agora vamos aplicar Bernoulli entre a saída da torneira (ponto 1) e um ponto qualquer (2) a uma distância y da torneira (distância que será medida a partir do fundo da pia, então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Nesse caso, como a saída da torneira (ponto 1) e o ponto 2 estão expostos ao ambiente, então p 1 = p 2 = p a t m e podemos cancelar os termos de pressão, dessa forma, a equação se torna:

0,815 2 2 + 9,81 0,45 = v 2 2 2 + 9,81 ( y )

Isolando v 2 dessa equação, temos:

v 2 = 9,49 - 19,62 y

Então, através da equação, podemos ver que a velocidade diminui conforme aumentamos y (lembrando que y cresce do fundo da pia em direção a torneira), então, podemos ver que a velocidade será máxima para y = 0 , no fundo da pia. Isso quer dizer que conforme a água cai, a velocidade aumenta, isso ocorre porque a energia potencial que a água possuía lá em cima ao sair da torneira vai se transformando em energia cinética.

Passo 2

Agora vamos analisar a área da seção transversal da corrente de água, para isso, vamos utilizar o princípio da continuidade, onde temos que:

Q 1 = Q 2 → v 1 A 1 = v 2 A 2 → A 2 = v 1 A 1 v 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

A 2 = 0,815 π 0,0125 2 4 9,49 - 19,62 y → A 2 = 1.10 - 4 9,49 - 19,62 y

Dessa forma, podemos ver que a área da seção transversal da água diminui conforme a água cai da torneira, pois nesse caso, quando y = 0 temos um valor de:

A 2 0 = 3,25.10 - 5   m 2

E quando y = 0,45   m

A 2 0,45 = 1,23.10 - 4   m 2

Ou seja, temos o valor máximo em y = 0,45   m , que está no ponto onde a água sai da torneira e o valor mínimo em y = 0 , que está no fundo da pia.

Passo 3

Agora se tivermos uma placa abaixo da torneira, temos então a situação a seguir:

Então, para resolver esse item, vamos aplicar a equação de equilíbrio de momento 4.18b, e a equação tem a forma:

F y = F S y + F B y = ∂ ∂ t ∫ V C   v ρ d V + ∫ S C   v ρ V → . d A →

No nosso caso, estamos com um regime permanente, então podemos desprezar a primeira integral com a derivada no tempo, vamos desprezar também a ação da força de campo na direção y , de modo que F B y = 0 . Então a equação se torna:

R y - W = v 2 - ρ v 2 A 2 + v 3 ( ρ v 3 A 3 )

E, nesse caso, sabemos que v 2 = v 2 encontrado no passo 1, e que v 3 = 0 , pois não é na direção y , então a equação se torna:

R y - W = - ρ v 2 v 2 A 2

Como temos continuidade entre os pontos 1 e 2, podemos fazer:

Q 1 = Q 2 → v 1 A 1 = v 2 A 2

Substituindo a expressão v 2 A 2 na equação anterior, temos:

R y - W = - ρ v 2 v 1 A 1

Então, substituindo os valores conhecidos, temos:

R y - W = 999 9,49 - 19,62 y 0,1.10 - 3 → R y = 0,1 9,49 - 19,62 y

Dessa forma, R y aumenta conforme a velocidade v 2 aumenta, ou seja, quanto mais perto do fundo da pia y = 0 , maior é a força necessária R y para manter a placa em equilíbrio.

Resposta

v 2 = 9,49 - 19,62 y

A 2 = 1.10 - 4 9,49 - 19,62 y

R y = 0,1 9,49 - 19,62 y

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